Решение №43576: Для исследования функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ y = \frac{1}{x^2 + 1} \] Знаменатель \( x^2 + 1 \) всегда положителен для всех действительных значений \( x \), поэтому ОДЗ функции — это вся числовая прямая \( (-\infty, \infty) \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + 1} \right) \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \] \[ 2x = 0 \implies x = 0 \] Таким образом, критическая точка \( x = 0 \).
4. Определить поведение функции на промежутках, разделенных критическими точками:
• На промежутке \( (-\infty, 0) \):
\[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} > 0 \quad \text{(поскольку } x < 0 \text{)} \] Функция возрастает.
• На промежутке \( (0, \infty) \):
\[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} < 0 \quad \text{(поскольку } x > 0 \text{)} \] Функция убывает.
5. Исследовать поведение функции на бесконечностях:
• При \( x \to -\infty \):
\[ y = \frac{1}{x^2 + 1} \to 0 \]
• При \( x \to \infty \):
\[ y = \frac{1}{x^2 + 1} \to 0 \]
6. Определить значение функции в критической точке:
\[ y(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1 \]
7. Построить график функции:
График функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) является колоколообразной кривой, симметричной относительно оси \( y \). Наибольшее значение функции \( y = 1 \) достигается при \( x = 0 \). При \( x \to \pm \infty \) функция стремится к нулю.

Ответ: NaN

Решение №43577: Для исследования функции \( y = \frac{-2}{x^2 + 4} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции.

Функция \( y = \frac{-2}{x^2 + 4} \) определена для всех \( x \) из множества действительных чисел, так как знаменатель \( x^2 + 4 \) всегда положителен и не равен нулю.

\[ \text{ОДЗ: } x \in (-\infty, \infty) \]
2. Найти производную функции \( y \).
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{-2}{x^2 + 4}\right) \]

Используем правило дифференцирования частного:

\[ y' = \frac{0 \cdot (x^2 + 4) - (-2) \cdot (2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 4)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \).
\[ \frac{4x}{(x^2 + 4)^2} = 0 \]

Это уравнение будет равно нулю, когда числитель равен нулю:

\[ 4x = 0 \implies x = 0 \]
4. Исследовать поведение функции на промежутках, разделенных критическими точками.

Критическая точка \( x = 0 \) делит область определения функции на два промежутка: \( (-\infty, 0) \) и \( (0, \infty) \).

5. Определить знак производной на этих промежутках.
\[ \text{На промежутке } (-\infty, 0): \text{ выберем } x = -1 \] \[ y'(-1) = \frac{4(-1)}{((-1)^2 + 4)^2} = \frac{-4}{25} < 0 \implies \text{функция убывает} \] \[ \text{На промежутке } (0, \infty): \text{ выберем } x = 1 \] \[ y'(1) = \frac{4(1)}{(1^2 + 4)^2} = \frac{4}{25} > 0 \implies \text{функция возрастает} \]
6. Найти экстремумы функции.

Поскольку производная меняет знак при переходе через точку \( x = 0 \), в этой точке функция имеет локальный минимум:

\[ y(0) = \frac{-2}{0^2 + 4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
7. Исследовать поведение функции на бесконечности.
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{x^2 + 4} = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{x^2 + 4} = 0 \]

Таким образом, при \( x \to \pm\infty \) функция стремится к нулю.

8. Построить график функции.

Для построения графика функции \( y = \frac{-2}{x^2 + 4} \) можно воспользоваться онлайн-инструментами, такими как Desmos или GeoGebra, и ввести выражение функции. График будет иметь следующие характеристики:

• Функция определена для всех \( x \).
• Функция имеет локальный минимум в точке \( (0, -\frac{1}{2}) \).
• Функция стремится к нулю при \( x \to \pm\infty \).

Ответ: NaN

Решение №43578: Для исследования функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции:
\[ y = \frac{1}{x^2 + 1} \] Функция определена для всех \( x \), так как знаменатель \( x^2 + 1 \) всегда положителен и не равен нулю. \[ \text{Область определения: } x \in (-\infty, \infty) \]
2. Найти симметрии функции:
\[ y = \frac{1}{x^2 + 1} \] Функция является четной, так как \( y(-x) = y(x) \).
3. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + 1} \right) \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \] \[ 2x = 0 \implies x = 0 \]
5. Исследовать поведение функции на интервалах:
\[ \text{Для } x < 0, \text{ производная } y' < 0 \text{ (функция убывает)} \] \[ \text{Для } x > 0, \text{ производная } y' < 0 \text{ (функция убывает)} \]
6. Найти пределы функции при \( x \to \pm \infty \):
\[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2 + 1} = 0 \]
7. Исследовать поведение функции при \( x = 0 \):
\[ f(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1 \]
8. Построить график функции:
График функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) будет симметричным относительно оси \( y \) и будет иметь максимум в точке \( (0, 1) \). При \( x \to \pm \infty \) значения функции стремятся к нулю.

Ответ: NaN

Решение №43579: Для исследования функции \( y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:

Функция \( y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \) определена везде, где знаменатель не равен нулю. Решим уравнение \( x^2 + 2x + 1 = 0 \):

\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1 \]

Таким образом, функция не определена при \( x = -1 \).

ОДЗ: \( x \neq -1 \).

2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \frac{1}{(x+1)^2} \]

Используем правило дифференцирования сложной функции:

\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(x+1)^2} \right) = -\frac{2}{(x+1)^3} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ y' = -\frac{2}{(x+1)^3} = 0 \]

Уравнение \( y' = 0 \) не имеет решений, так как знаменатель никогда не равен нулю при \( x \neq -1 \).

4. Исследовать поведение функции на интервалах \((-∞, -1)\) и \((-1, ∞)\):

На интервале \((-∞, -1)\), производная \( y' \) отрицательна, что означает, что функция убывает.

На интервале \((-1, ∞)\), производная \( y' \) также отрицательна, что означает, что функция убывает.

5. Построить график функции:

График функции \( y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \) будет иметь вертикальную асимптоту при \( x = -1 \), так как при \( x \to -1 \) значение функции стремится к бесконечности.

Также можно заметить, что при \( x \to \pm∞ \), значение функции стремится к нулю, что означает наличие горизонтальной асимптоты \( y = 0 \).

График будет выглядеть как гипербола, пересекающая ось \( y \) в точке \( (0, 1) \).

График функции \( y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \):

Для построения графика можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков, такие как Desmos, GeoGebra или WolframAlpha.

График будет иметь следующие характеристики:

• Вертикальная асимптота при \( x = -1 \).
• Горизонтальная асимптота \( y = 0 \).
• Пересечение с осью \( y \) в точке \( (0, 1) \).

Примерный вид графика:

На графике видно, что функция убывает на обоих интервалах и имеет вертикальную асимптоту при \( x = -1 \).

Ответ: NaN

Решение №43580: Для исследования функции \( y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции \( y \):
\[ y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \] Функция определена для всех \( x \neq 0 \), так как при \( x = 0 \) знаменатель становится равным нулю.
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}\right) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2} \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \]
5. Определить интервалы монотонности функции:
• Для \( x \in (-\infty, -2) \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
• Для \( x \in (-2, 0) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)
• Для \( x \in (0, 2) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)
• Для \( x \in (2, \infty) \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
6. Найти значения функции в критических точках:
\[ f(-2) = \frac{-2}{2} + \frac{2}{-2} = -1 - 1 = -2 \] \[ f(2) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2 \]
7. Построить график функции \( y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \):
График функции \( y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \) будет иметь две ветви, так как функция не определена в \( x = 0 \). Она будет иметь вертикальную асимптоту в \( x = 0 \).

• Убывание: \( (-\infty, -2) \) и \( (2, \infty) \)
• Возрастание: \( (-2, 0) \) и \( (0, 2) \)

• \( f(-2) = -2 \)
• \( f(2) = 2 \)

Ответ: NaN

Решение №43581: Для исследования функции \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ y = \frac{x^2 + 4}{x} \] Знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно: \[ x \neq 0 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 + 4}{x} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 + 4)' \cdot x - (x^2 + 4) \cdot x'}{x^2} = \frac{(2x) \cdot x - (x^2 + 4) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - (x^2 + 4)}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{x^2 - 4}{x^2} = 0 \] Это возможно только если: \[ x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \]
4. Исследовать знаки производной \( y' \) на интервалах, определяемых критическими точками \( x = -2 \) и \( x = 2 \):
• На интервале \( (-\infty, -2) \): \[ y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} > 0 \quad \text{(так как \( x^2 - 4 > 0 \))} \]
• На интервале \( (-2, 0) \): \[ y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} < 0 \quad \text{(так как \( x^2 - 4 < 0 \))} \]
• На интервале \( (0, 2) \): \[ y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} < 0 \quad \text{(так как \( x^2 - 4 < 0 \))} \]
• На интервале \( (2, \infty) \): \[ y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} > 0 \quad \text{(так как \( x^2 - 4 > 0 \))} \]
5. Определить характер критических точек:
• В точке \( x = -2 \): \[ y' \text{ меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, это точка локального максимума.} \]
• В точке \( x = 2 \): \[ y' \text{ меняет знак с отрицательного на положительный, следовательно, это точка локального минимума.} \]
6. Вычислить значения функции в критических точках:
\[ y(-2) = \frac{(-2)^2 + 4}{-2} = \frac{4 + 4}{-2} = \frac{8}{-2} = -4 \] \[ y(2) = \frac{(2)^2 + 4}{2} = \frac{4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
7. Построить график функции:
График функции \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \) можно построить, используя полученные значения и анализ производной. График будет иметь вертикальную асимптоту в точке \( x = 0 \) и будет иметь локальный максимум в точке \( x = -2 \) и локальный минимум в точке \( x = 2 \).

Ответ: NaN

Решение №43582: Для исследования функции \( y = \frac{2x+1}{x^2+2} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
Функция \( y = \frac{2x+1}{x^2+2} \) определена для всех \( x \in \mathbb{R} \), так как знаменатель \( x^2 + 2 \) никогда не равен нулю.
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x+1}{x^2+2} \right) \] Используем правило производной частного: \[ y' = \frac{(2x+1)'(x^2+2) - (2x+1)(x^2+2)'}{(x^2+2)^2} \] \[ y' = \frac{2(x^2+2) - (2x+1)(2x)}{(x^2+2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4 - 4x^2 - 2x}{(x^2+2)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 - 2x + 4}{(x^2+2)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -2x^2 - 2x + 4 = 0 \] Делим уравнение на -2: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]
4. Исследовать поведение функции в окрестности критических точек:
Для этого проверим знак производной в точках слева и справа от критических точек. - Для \( x = -2 \): \[ y'(-3) = \frac{-2(-3)^2 - 2(-3) + 4}{((-3)^2 + 2)^2} = \frac{-18 + 6 + 4}{11^2} = \frac{-8}{121} < 0 \] \[ y'(-1) = \frac{-2(-1)^2 - 2(-1) + 4}{((-1)^2 + 2)^2} = \frac{-2 + 2 + 4}{3^2} = \frac{4}{9} > 0 \] - Для \( x = 1 \): \[ y'(0) = \frac{-2(0)^2 - 2(0) + 4}{(0^2 + 2)^2} = \frac{4}{4} = 1 > 0 \] \[ y'(2) = \frac{-2(2)^2 - 2(2) + 4}{(2^2 + 2)^2} = \frac{-8 - 4 + 4}{6^2} = \frac{-8}{36} < 0 \]
5. Определить экстремумы функции:
- В точке \( x = -2 \) функция имеет минимум: \[ y(-2) = \frac{2(-2) + 1}{(-2)^2 + 2} = \frac{-4 + 1}{4 + 2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] - В точке \( x = 1 \) функция имеет максимум: \[ y(1) = \frac{2(1) + 1}{1^2 + 2} = \frac{2 + 1}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \]
6. Построить график функции:
Для построения графика функции \( y = \frac{2x+1}{x^2+2} \) можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков. График будет иметь минимум в точке \( x = -2 \) и максимум в точке \( x = 1 \).

Ответ: NaN

Решение №43583: Для исследования функции \( y = \frac{x-2}{x^2+5} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции \( y \).
\[ y = \frac{x-2}{x^2+5} \] Знаменатель \( x^2 + 5 \) никогда не равен нулю, так как \( x^2 \geq 0 \) и \( x^2 + 5 \geq 5 \). Следовательно, функция определена для всех \( x \in (-\infty, \infty) \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-2}{x^2+5} \right) \] Используем правило производной частного: \[ y' = \frac{(x^2+5) \cdot 1 - (x-2) \cdot 2x}{(x^2+5)^2} \] Упростим числитель: \[ y' = \frac{x^2 + 5 - 2x(x-2)}{(x^2+5)^2} = \frac{x^2 + 5 - 2x^2 + 4x}{(x^2+5)^2} = \frac{-x^2 + 4x + 5}{(x^2+5)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -x^2 + 4x + 5 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -5 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \]
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках:
\[ y(-1) = \frac{-1-2}{(-1)^2+5} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ y(5) = \frac{5-2}{5^2+5} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \]
5. Исследовать поведение функции на бесконечности:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{x^2+5} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{x^2+5} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0 \]
6. Построить график функции \( y = \frac{x-2}{x^2+5} \):
Для построения графика можно использовать программное обеспечение, например, графический калькулятор или специализированные программы для построения графиков функций, такие как Wolfram Alpha или Desmos.

Ответ: NaN

Решение №43584: Для исследования функции \( y = \frac{x}{x^2 - 4} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2 \] Таким образом, ОДЗ функции: \( x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty) \).
2. Найти точки разрыва функции:
\[ x = \pm 2 \] В этих точках функция имеет разрывы второго рода (вертикальные асимптоты).
3. Найти вертикальные асимптоты:
\[ x = \pm 2 \] В этих точках функция стремится к бесконечности.
4. Найти горизонтальные асимптоты:
\[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^2 (1 - \frac{4}{x^2})} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x (1 - \frac{4}{x^2})} = 0 \] Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \).
5. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x^2 - 4} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 - 4) \cdot 1 - x \cdot (2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^2 - 4 - 2x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 4)^2} \]
6. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = -4 \] Это уравнение не имеет решений, так как \( x^2 \) не может быть отрицательным. Следовательно, критических точек нет.
7. Исследовать поведение функции на промежутках:
\[ y' = \frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 4)^2} \] Производная всегда отрицательна, так как числитель всегда отрицателен, а знаменатель всегда положителен. Следовательно, функция убывает на всех промежутках \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, \infty) \).
8. Построить график функции:
Для построения графика можно использовать программное обеспечение или онлайн-калькуляторы. График функции будет иметь вертикальные асимптоты в точках \( x = \pm 2 \) и горизонтальную асимптоту \( y = 0 \). Функция будет убывать на всех промежутках.

Ответ: NaN

Решение №43585: Для исследования функции \( y = \frac{x-3}{x^2-8} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции:

Функция \( y = \frac{x-3}{x^2-8} \) не определена в точках, где знаменатель равен нулю. Решим уравнение \( x^2 - 8 = 0 \):

\[ x^2 - 8 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \]

Таким образом, область определения функции: \( x \in (-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, \infty) \).

2. Найти горизонтальные асимптоты:

Для нахождения горизонтальных асимптот рассмотрим пределы функции при \( x \to \pm \infty \):

\[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-3}{x^2-8} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x-3}{x^2}}{\frac{x^2-8}{x^2}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{8}{x^2}} = 0 \]

Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \).

3. Найти вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты проходят через точки, где знаменатель равен нулю, то есть \( x = \pm 2\sqrt{2} \).

4. Найти производную функции для исследования поведения функции:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-3}{x^2-8} \right) \]

Применим правило частного производного:

\[ y' = \frac{(1)(x^2-8) - (x-3)(2x)}{(x^2-8)^2} = \frac{x^2 - 8 - 2x^2 + 6x}{(x^2-8)^2} = \frac{-x^2 + 6x - 8}{(x^2-8)^2} \]

Упростим числитель:

\[ y' = \frac{-(x^2 - 6x + 8)}{(x^2-8)^2} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -(x^2 - 6x + 8) = 0 \implies x^2 - 6x + 8 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \]

Получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]

Проверим, какие из критических точек попадают в область определения функции:

Точка \( x = 2 \) не попадает в область определения, так как \( 2 \) не принадлежит интервалам \( (-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, \infty) \).

6. Исследовать поведение функции в критических точках и на концах отрезка:

Для точки \( x = 4 \):

\[ y(4) = \frac{4-3}{4^2-8} = \frac{1}{16-8} = \frac{1}{8} \]

Для точки \( x = 2 \) (хотя она не попадает в область определения, но для полноты картины):

\[ y(2) = \frac{2-3}{2^2-8} = \frac{-1}{4-8} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \]
7. Построить график функции:

Для построения графика функции \( y = \frac{x-3}{x^2-8} \) можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение, такие как Desmos, GeoGebra или WolframAlpha. График будет иметь вертикальные асимптоты в точках \( x = \pm 2\sqrt{2} \) и горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).

Ответ: NaN

Решение №43586: Для исследования функции \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \) и построения ее графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
Функция \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \) определена для всех значений \( x \), кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Однако, знаменатель \( x^2 + 1 \) никогда не равен нулю, так как \( x^2 + 1 \geq 1 \) для всех \( x \). Следовательно, функция определена на всей числовой оси: \( x \in (-\infty, \infty) \).
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
• Для нахождения точек пересечения с осью \( y \) (ординатами) подставим \( x = 0 \): \[ y = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 1} = \frac{-1}{1} = -1 \] Точка пересечения с осью \( y \): \( (0, -1) \).
• Для нахождения точек пересечения с осью \( x \) (абсциссами) подставим \( y = 0 \): \[ \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Точки пересечения с осью \( x \): \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).
3. Найти производную функции \( y \).
\[ y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 1) - (x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(x^2 + 1) \cdot 2x - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 + 1 - x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x \cdot 2}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \).
\[ \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0 \]
5. Исследовать поведение функции на промежутках, определенных критическими точками.
• На промежутке \( (-\infty, 0) \): \[ y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} < 0 \quad \text{(так как \( x < 0 \))} \] Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 0) \).
• На промежутке \( (0, \infty) \): \[ y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} > 0 \quad \text{(так как \( x > 0 \))} \] Функция возрастает на промежутке \( (0, \infty) \).
6. Найти значения функции в критических точках.
\[ y(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 1} = -1 \]
7. Построить график функции.
• График функции \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \) имеет горизонтальную асимптоту \( y = 1 \), так как при \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1 \]
• График пересекает ось \( y \) в точке \( (0, -1) \) и ось \( x \) в точках \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).
• Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 0) \) и возрастает на промежутке \( (0, \infty) \).

Ответ: NaN

Решение №43587: Для исследования функции \( y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции.
\[ y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \] Знаменатель \( x^2 + 4 \) никогда не равен нулю, так как \( x^2 \geq 0 \). Таким образом, функция определена на всей числовой прямой \( (-\infty, \infty) \).
2. Найти значения функции в некоторых ключевых точках:
\[ y(0) = \frac{0^2 - 4}{0^2 + 4} = \frac{-4}{4} = -1 \] \[ y(2) = \frac{2^2 - 4}{2^2 + 4} = \frac{4 - 4}{4 + 4} = \frac{0}{8} = 0 \] \[ y(-2) = \frac{(-2)^2 - 4}{(-2)^2 + 4} = \frac{4 - 4}{4 + 4} = \frac{0}{8} = 0 \]
3. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(2x)(x^2 + 4) - (2x)(x^2 - 4)}{(x^2 + 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 + 4) - 2x(x^2 - 4)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x(x^2 + 4 - x^2 + 4)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x(8)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{16x}{(x^2 + 4)^2} = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда \( x = 0 \).
5. Исследовать поведение функции на интервалах вокруг критических точек:
\[ \text{Производная } y' = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2} \text{ положительна при } x > 0 \text{ и отрицательна при } x < 0. \] Таким образом, функция имеет минимум в точке \( x = 0 \).
6. Исследовать пределы функции при \( x \to \pm \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \]
7. Построить график функции:
График функции \( y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \) можно построить, используя найденные значения и асимптотическое поведение. График будет иметь минимум в точке \( (0, -1) \) и стремиться к 1 при \( x \to \pm \infty \).

Ответ: NaN

Решение №43588: Для исследования функции \( y = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции.
\[ x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2 \] Таким образом, ОДЗ функции: \( x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty) \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}\right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 + 4)'(x^2 - 4) - (x^2 + 4)(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 + 4) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 - 4) - 2x(x^2 + 4)}{(x^2 - 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 - 4 - x^2 - 4)}{(x^2 - 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x(-8)}{(x^2 - 4)^2} \] \[ y' = \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2} = 0 \] \[ -16x = 0 \implies x = 0 \] Критическая точка: \( x = 0 \).
4. Исследовать поведение функции на промежутках, определенных критическими точками и точками разрыва:
\[ \text{На промежутке } (-\infty, -2) \cup (-2, 0): \] \[ y' = \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2} > 0 \text{ (так как } x < 0 \text{ и } x^2 - 4 > 0) \] Функция возрастает на промежутке \( (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \). \[ \text{На промежутке } (0, 2) \cup (2, \infty): \] \[ y' = \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2} < 0 \text{ (так как } x > 0 \text{ и } x^2 - 4 > 0) \] Функция убывает на промежутке \( (0, 2) \cup (2, \infty) \).
5. Найти значения функции в критических точках и на границах промежутков:
\[ y(0) = \frac{0^2 + 4}{0^2 - 4} = \frac{4}{-4} = -1 \] \[ y(-2) \text{ и } y(2) \text{ не существуют, так как } x = \pm 2 \text{ не входят в ОДЗ.} \]
6. Построить график функции:
График функции \( y = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \) будет иметь вертикальные асимптоты в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \), горизонтальную асимптоту \( y = 1 \), и критическую точку в \( x = 0 \) с минимумом \( y = -1 \).

Ответ: NaN

Решение №43589: Для исследования функции \( y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1 \] Таким образом, функция определена для всех \( x \), кроме \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) - (x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} \] Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \] Подставим в формулу: \[ y' = \frac{(x^2 - 1) \cdot 2x - (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1) - 2x(x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^2} \] Упростим числитель: \[ y' = \frac{2x(x^2 - 1 - x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(-2)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} = 0 \] Это уравнение выполняется при \( x = 0 \).
4. Исследовать поведение функции на интервалах \((- \infty, -1)\), \((-1, 0)\), \((0, 1)\) и \((1, \infty)\):
\[ \text{На интервале } (-\infty, -1) \text{ и } (1, \infty): y' < 0 \text{ (функция убывает)} \] \[ \text{На интервале } (-1, 0) \text{ и } (0, 1): y' > 0 \text{ (функция возрастает)} \]
5. Найти пределы функции при \( x \to \pm 1 \) и \( x \to \pm \infty \):
\[ \lim_{x \to \pm 1} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \infty \] \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = 1 \]
6. Построить график функции:
\[ \text{График функции } y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \text{ имеет вертикальные асимптоты при } x = \pm 1 \text{ и горизонтальную асимптоту при } y = 1. \]

Ответ: NaN

Решение №43590: Для исследования функции \( y = 2\sqrt{x} - x \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ y = 2\sqrt{x} - x \] Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, \( x \geq 0 \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x} - x) \] \[ y' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \] \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \] \[ \sqrt{x} = 1 \] \[ x = 1 \]
4. Определить интервалы возрастания и убывания функции:
\[ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \] Производная \( y' \) положительна, когда \( \frac{1}{\sqrt{x}} > 1 \), то есть \( \sqrt{x} < 1 \) или \( 0 < x < 1 \). Производная \( y' \) отрицательна, когда \( \frac{1}{\sqrt{x}} < 1 \), то есть \( \sqrt{x} > 1 \) или \( x > 1 \).
5. Построить таблицу значений функции для построения графика:
\[ \begin{array}{c|c} x & y = 2\sqrt{x} - x \\ \hline 0 & 0 \\ 0.25 & 2\sqrt{0.25} - 0.25 = 1 - 0.25 = 0.75 \\ 0.5 & 2\sqrt{0.5} - 0.5 \approx 1.41 - 0.5 = 0.91 \\ 1 & 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1 \\ 1.5 & 2\sqrt{1.5} - 1.5 \approx 2.45 - 1.5 = 0.95 \\ 2 & 2\sqrt{2} - 2 \approx 2.83 - 2 = 0.83 \\ 3 & 2\sqrt{3} - 3 \approx 3.46 - 3 = 0.46 \\ 4 & 2\sqrt{4} - 4 = 4 - 4 = 0 \\ \end{array} \]
6. Построить график функции:
\[ \text{График функции } y = 2\sqrt{x} - x \text{ можно построить, используя таблицу значений.} \]

Ответ: NaN

Решение №43591: Для исследования функции \( y = \sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \):
Для того чтобы функция была определена, оба выражения под корнями должны быть неотрицательными: \[ \begin{cases} x + 4 \geq 0 \\ 9 - 3x \geq 0 \end{cases} \] Решая эти неравенства, получаем: \[ \begin{cases} x \geq -4 \\ x \leq 3 \end{cases} \] Таким образом, ОДЗ функции: \[ -4 \leq x \leq 3 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x}\right) \] Используем правило дифференцирования для каждого слагаемого: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{9-3x}} \cdot (-3) \] Упрощаем выражение: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} - \frac{1}{\sqrt{9-3x}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{2\sqrt{x+4}} - \frac{1}{\sqrt{9-3x}} = 0 \] Приравниваем числители: \[ \frac{1}{2\sqrt{x+4}} = \frac{1}{\sqrt{9-3x}} \] Умножаем обе части на \( 2\sqrt{x+4} \cdot \sqrt{9-3x} \): \[ \sqrt{9-3x} = 2\sqrt{x+4} \] Возводим обе части в квадрат: \[ 9 - 3x = 4(x + 4) \] Решаем уравнение: \[ 9 - 3x = 4x + 16 \] \[ 9 - 16 = 4x + 3x \] \[ -7 = 7x \] \[ x = -1 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ:
Критическая точка \( x = -1 \) попадает в ОДЗ \([-4; 3]\).
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-4) = \sqrt{-4+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(-4)} = 0 + \frac{2}{3}\sqrt{21} = \frac{2}{3}\sqrt{21} \] \[ y(3) = \sqrt{3+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(3)} = \sqrt{7} + \frac{2}{3}\sqrt{0} = \sqrt{7} \] \[ y(-1) = \sqrt{-1+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(-1)} = \sqrt{3} + \frac{2}{3}\sqrt{12} = \sqrt{3} + \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(-1) = 3\sqrt{3} \) Наименьшее значение: \( y(-4) = \frac{2}{3}\sqrt{21} \)
7. Построить график функции \( y = \sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x} \):
Для построения графика можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков, такие как Desmos, GeoGebra или MATLAB. Постройте график функции на отрезке \([-4; 3]\).

Ответ: NaN

Решение №43592: Для исследования функции \( y = \sqrt{\frac{x-1}{x}} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ \frac{x-1}{x} \geq 0 \] Это неравенство можно переписать как: \[ \frac{x-1}{x} \geq 0 \implies x(x-1) \geq 0 \quad \text{и} \quad x \neq 0 \]
2. Решить неравенство \( x(x-1) \geq 0 \):
\[ x(x-1) \geq 0 \] Это неравенство выполняется при: \[ x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 1 \] Поскольку \( x \neq 0 \), ОДЗ функции: \[ x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty) \]
3. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{\frac{x-1}{x}} \] Для нахождения производной используем цепное правило: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{x-1}{x}} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x} \right) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x^2} \] Таким образом: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{2x^2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ y' = \frac{1}{2x^2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}} = 0 \] Поскольку \( \frac{1}{2x^2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}} \neq 0 \) для всех \( x \) в ОДЗ, критических точек нет.
5. Исследовать поведение функции на границах ОДЗ:
\[ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x-1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 - \frac{1}{x}} = \sqrt{1} = 1 \] \[ \lim_{x \to 0^-} y = \lim_{x \to 0^-} \sqrt{\frac{x-1}{x}} = \lim_{x \to 0^-} \sqrt{\frac{-1}{x}} = +\infty \] \[ \lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \sqrt{\frac{x-1}{x}} = \sqrt{0} = 0 \] \[ \lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x-1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 - \frac{1}{x}} = \sqrt{1} = 1 \]
6. Построить график функции:
График функции \( y = \sqrt{\frac{x-1}{x}} \) можно построить, учитывая найденные пределы и ОДЗ.

Ответ: NaN

Решение №43593: Для исследования функции \( y = (x-3)\sqrt{x} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ y = (x-3)\sqrt{x} \] Функция определена для \( x \geq 0 \), так как корень из \( x \) существует только для неотрицательных значений \( x \). \[ \text{ОДЗ: } x \geq 0 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( (x-3)\sqrt{x} \right) \] Используем правило производной произведения: \[ y' = (x-3) \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) + \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx} (x-3) \] \[ y' = (x-3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 1 \] \[ y' = \frac{x-3}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{x-3 + 2x}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}} \] \[ y' = \frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}} = 0 \] \[ 3(x-1) = 0 \] \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Также необходимо проверить точки, где производная не существует. В данном случае это точка \( x = 0 \).
4. Изучить поведение функции на интервалах, разделенных критическими точками:
\[ \text{Интервалы: } (0, 1), (1, \infty) \]
5. Определить знак производной на каждом интервале:
\[ \text{На интервале } (0, 1): \] \[ y' = \frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}} < 0 \quad \text{(так как } x-1 < 0 \text{)} \] \[ \text{На интервале } (1, \infty): \] \[ y' = \frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}} > 0 \quad \text{(так как } x-1 > 0 \text{)} \]
6. Определить промежутки монотонности функции:
\[ \text{Функция убывает на интервале } (0, 1) \] \[ \text{Функция возрастает на интервале } (1, \infty) \]
7. Найти значения функции в критических точках:
\[ y(0) = (0-3)\sqrt{0} = 0 \] \[ y(1) = (1-3)\sqrt{1} = -2 \]
8. Построить график функции:
График функции \( y = (x-3)\sqrt{x} \) можно построить, используя значения функции в критических точках и на концах интервалов. График будет иметь точку минимума в \( x = 1 \) со значением \( y = -2 \) и точку пересечения с осью \( y \) в \( x = 0 \) со значением \( y = 0 \).

Ответ: NaN

Решение №43594: Для исследования функции \( y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции.
\[ \sqrt{1 - x^2} \geq 0 \implies 1 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 1 \implies -1 \leq x \leq 1 \] Кроме того, \(\sqrt{1 - x^2}\) не должно быть равно нулю, чтобы не было деления на ноль: \[ \sqrt{1 - x^2} \neq 0 \implies 1 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 1 \] Таким образом, ОДЗ: \( -1 < x < 1 \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \] Используем правило производной частного: \[ y' = \left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)' = \frac{\sqrt{1 - x^2} \cdot 1 - x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2} \] Упрощаем выражение: \[ y' = \frac{\sqrt{1 - x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2} = \frac{1 - x^2 + x^2}{(1 - x^2) \sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{(1 - x^2) \sqrt{1 - x^2}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ y' = \frac{1}{(1 - x^2) \sqrt{1 - x^2}} \] Производная никогда не равна нулю в пределах ОДЗ, так как знаменатель никогда не обращается в ноль.
4. Исследовать поведение функции на границах ОДЗ:
\[ \lim_{x \to -1^+} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = -\infty \] \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \infty \]
5. Построить график функции \( y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \):
График функции имеет вертикальные асимптоты в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Функция непрерывна и дифференцируема внутри интервала \( -1 < x < 1 \).
6. Построить таблицу значений для функции \( y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \):
\[ \begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -0.9 & -2.12 \\ -0.5 & -0.89 \\ 0 & 0 \\ 0.5 & 0.89 \\ 0.9 & 2.12 \\ \end{array} \]
7. Построить график функции на основе таблицы значений:
\[ \text{График функции } y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \text{ будет выглядеть как гипербола, проходящая через начало координат и имеющая вертикальные асимптоты в точках } x = -1 \text{ и } x = 1. \]

Ответ: NaN

Решение №43595: Для исследования функции \( y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ \sqrt{x^2 - 1} \text{ определено, если } x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x < -1 \text{ или } x > 1 \]
Таким образом, ОДЗ функции: \( x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \right) \]
Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{(x^2 - 1)} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}}}{(x^2 - 1)} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}}}{(x^2 - 1)} = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x^2 - 1} \] \[ y' = \frac{x^2 - 1 - x^2}{(x^2 - 1)^{3/2}} = \frac{-1}{(x^2 - 1)^{3/2}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ y' = \frac{-1}{(x^2 - 1)^{3/2}} = 0 \]
Это уравнение не имеет решений, так как числитель равен \(-1\), а знаменатель никогда не равен нулю в ОДЗ.
4. Исследовать поведение функции на концах ОДЗ:

На концах ОДЗ \( x \to \pm 1 \), функция стремится к бесконечности: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = +\infty \] \[ \lim_{x \to -1^-} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = -\infty \]
5. Построить график функции:

График функции \( y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \) будет иметь вертикальные асимптоты при \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Функция будет положительной для \( x > 1 \) и отрицательной для \( x < -1 \).

Ответ: NaN

Решение №43596: Для построения графика функции \( y = x^4 - 2x^2 + 3 \) необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Найти производную функции \( y \)**: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x \] 2. **Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \)**: \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] 3. **Определить характер критических точек, используя вторую производную**: \[ y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4 \] Оценим значение второй производной в критических точках: \[ y'(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0 \quad \text{(максимум)} \] \[ y'(1) = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0 \quad \text{(минимум)} \] \[ y'(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 > 0 \quad \text{(минимум)} \] 4. **Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка (если требуется)**: \[ y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3 \] \[ y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] \[ y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] 5. **Построить таблицу значений функции для некоторых точек**: \[ \begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -2 & (-2)^4 - 2(-2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11 \\ -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2 \\ 2 & 11 \\ \end{array} \] 6. **Построить график функции**: График функции \( y = x^4 - 2x^2 + 3 \) будет иметь следующие особенности: - Максимум в точке \( x = 0 \) со значением \( y = 3 \). - Минимумы в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \) со значениями \( y = 2 \). График будет иметь форму параболы четвертой степени с двумя минимумами и одним максимумом. Ответ:
График функции \( y = x^4 - 2x^2 + 3 \) имеет максимум в точке \( x = 0 \) со значением \( y = 3 \) и минимумы в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \) со значениями \( y = 2 \).

Ответ: NaN

Решение №43597: Для нахождения значений параметра \(a\), при которых уравнение \(x^4 - 2x^2 + 3 = a\) имеет три корня, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Переписать уравнение в виде функции:
\[ f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \]
4. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках:
\[ f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3 \] \[ f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] \[ f(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \]
5. Проанализировать поведение функции \( f(x) \) на интервалах, определенных критическими точками:
\[ f(x) \text{ убывает на } (-\infty, -1) \text{ и } (0, 1) \] \[ f(x) \text{ возрастает на } (-1, 0) \text{ и } (1, \infty) \]
6. Определить, при каких значениях параметра \(a\) функция \( f(x) \) имеет три корня:
\[ \text{Для того чтобы функция } f(x) \text{ имела три корня, значение } a \text{ должно совпадать с одним из значений функции в критических точках.} \] \[ \text{Таким образом, } a \text{ должно быть равно } 2. \]
7. Заключение:
\[ \text{Уравнение } x^4 - 2x^2 + 3 = a \text{ имеет три корня при } a = 2. \]

Ответ: NaN

Решение №43598: Для построения графика функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 8 \) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область значений функции:
\[ y = -x^4 + 2x^2 + 8 \] Функция определена на всей числовой прямой \( x \in \mathbb{R} \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 8) = -4x^3 + 4x \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -4x^3 + 4x = 0 \] \[ 4x(1 - x^2) = 0 \] \[ 4x(1 - x)(1 + x) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \]
5. Определить, где функция возрастает, а где убывает:
\[ y' = -4x^3 + 4x \]
• Для \( x < -1 \) и \( x > 1 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
• Для \( -1 < x < 1 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
6. Найти значения функции в критических точкаx:
\[ f(0) = -0^4 + 2 \cdot 0^2 + 8 = 8 \] \[ f(1) = -1^4 + 2 \cdot 1^2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 \] \[ f(-1) = -(-1)^4 + 2 \cdot (-1)^2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 \]
7. Построить график функции:
Для построения графика можно использовать программное обеспечение, такое как Wolfram Alpha, Desmos или Python с библиотекой matplotlib. Вот пример кода на Python: ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(-3, 3, 400) y = -x**4 + 2*x**2 + 8 plt.plot(x, y, label='y = -x^4 + 2x^2 + 8') plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5) plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5) plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5) plt.legend() plt.show() ```
8. Анализ графика:
• Функция имеет максимум в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \) со значением \( y = 9 \).
• Функция имеет минимум в точке \( x = 0 \) со значением \( y = 8 \).
• Функция убывает на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, \infty) \).
• Функция возрастает на интервале \( (-1, 1) \).

Ответ: NaN

Решение №43599: Для решения задачи о нахождении значений параметра \(a\), при которых уравнение \(-x^4 - 2x^2 + 8 = a\) не имеет корней, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в виде, удобном для анализа:
\[ -x^4 - 2x^2 + 8 = a \]
2. Примем \(y = -x^4 - 2x^2 + 8\) и построим график функции \(y\).
3. Найдем производную функции \(y\):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 - 2x^2 + 8) = -4x^3 - 4x \]
4. Найдем критические точки, решив уравнение \(y' = 0\):
\[ -4x^3 - 4x = 0 \implies -4x(x^2 + 1) = 0 \]
5. Решим уравнение относительно \(x\):
\[ -4x(x^2 + 1) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 1 = 0 \quad (\text{не имеет реальных решений}) \]
6. Проанализируем значения функции \(y\) в критической точке \(x = 0\):
\[ y(0) = -0^4 - 2 \cdot 0^2 + 8 = 8 \]
7. Определим поведение функции \(y\) на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((0, \infty)\):
• На интервале \((-\infty, 0)\): \[ y' = -4x(x^2 + 1) \quad \text{отрицательно, так как} \quad x < 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 1 > 0 \]
• На интервале \((0, \infty)\): \[ y' = -4x(x^2 + 1) \quad \text{отрицательно, так как} \quad x > 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 1 > 0 \]
8. Следовательно, функция \(y\) убывает на всей числовой прямой и имеет максимум в точке \(x = 0\), равный 8.
9. Для того чтобы уравнение \(-x^4 - 2x^2 + 8 = a\) не имело корней, значение \(a\) должно быть больше максимального значения функции \(y\):
\[ a > 8 \]

Ответ: NaN