Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x^2+1}{x^2-1}\).

Ответ

NaN

Решение № 43589:

Для исследования функции \( y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ x^2 - 1 \neq 0 \implies x \neq \pm 1 \] Таким образом, функция определена для всех \( x \), кроме \( x = 1 \) и \( x = -1 \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) - (x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} \] Вычислим производные: \[ \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x, \quad \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \] Подставим в формулу: \[ y' = \frac{(x^2 - 1) \cdot 2x - (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(x^2 - 1) - 2x(x^2 + 1)}{(x^2 - 1)^2} \] Упростим числитель: \[ y' = \frac{2x(x^2 - 1 - x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{2x(-2)}{(x^2 - 1)^2} = \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-4x}{(x^2 - 1)^2} = 0 \] Это уравнение выполняется при \( x = 0 \).
4. Исследовать поведение функции на интервалах \((- \infty, -1)\), \((-1, 0)\), \((0, 1)\) и \((1, \infty)\):
\[ \text{На интервале } (-\infty, -1) \text{ и } (1, \infty): y' < 0 \text{ (функция убывает)} \] \[ \text{На интервале } (-1, 0) \text{ и } (0, 1): y' > 0 \text{ (функция возрастает)} \]
5. Найти пределы функции при \( x \to \pm 1 \) и \( x \to \pm \infty \):
\[ \lim_{x \to \pm 1} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \infty \] \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{1}{x^2}} = 1 \]
6. Построить график функции:
\[ \text{График функции } y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \text{ имеет вертикальные асимптоты при } x = \pm 1 \text{ и горизонтальную асимптоту при } y = 1. \]

Ответ:
График функции \( y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \) имеет вертикальные асимптоты при \( x = \pm 1 \) и горизонтальную асимптоту при \( y = 1 \). Функция убывает на интервале \((- \infty, -1)\) и \((1, \infty)\), и возрастает на интервале \((-1, 0)\) и \((0, 1)\).