Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{1}{x^2+2x+1}\).

Ответ

NaN

Решение № 43579:

Для исследования функции \( y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:

Функция \( y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \) определена везде, где знаменатель не равен нулю. Решим уравнение \( x^2 + 2x + 1 = 0 \):

\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1 \]

Таким образом, функция не определена при \( x = -1 \).

ОДЗ: \( x \neq -1 \).

2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \frac{1}{(x+1)^2} \]

Используем правило дифференцирования сложной функции:

\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{(x+1)^2} \right) = -\frac{2}{(x+1)^3} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ y' = -\frac{2}{(x+1)^3} = 0 \]

Уравнение \( y' = 0 \) не имеет решений, так как знаменатель никогда не равен нулю при \( x \neq -1 \).

4. Исследовать поведение функции на интервалах \((-∞, -1)\) и \((-1, ∞)\):

На интервале \((-∞, -1)\), производная \( y' \) отрицательна, что означает, что функция убывает.

На интервале \((-1, ∞)\), производная \( y' \) также отрицательна, что означает, что функция убывает.

5. Построить график функции:

График функции \( y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \) будет иметь вертикальную асимптоту при \( x = -1 \), так как при \( x \to -1 \) значение функции стремится к бесконечности.

Также можно заметить, что при \( x \to \pm∞ \), значение функции стремится к нулю, что означает наличие горизонтальной асимптоты \( y = 0 \).

График будет выглядеть как гипербола, пересекающая ось \( y \) в точке \( (0, 1) \).

График функции \( y = \frac{1}{x^2 + 2x + 1} \):

Для построения графика можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков, такие как Desmos, GeoGebra или WolframAlpha.

График будет иметь следующие характеристики:

• Вертикальная асимптота при \( x = -1 \).
• Горизонтальная асимптота \( y = 0 \).
• Пересечение с осью \( y \) в точке \( (0, 1) \).

Примерный вид графика:

На графике видно, что функция убывает на обоих интервалах и имеет вертикальную асимптоту при \( x = -1 \).