Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x^2+4}{x^2-4}\).

Ответ

NaN

Решение № 43588:

Для исследования функции \( y = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции.
\[ x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2 \] Таким образом, ОДЗ функции: \( x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty) \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 4}{x^2 - 4}\right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 + 4)'(x^2 - 4) - (x^2 + 4)(x^2 - 4)'}{(x^2 - 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 - 4) - (x^2 + 4) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 - 4) - 2x(x^2 + 4)}{(x^2 - 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 - 4 - x^2 - 4)}{(x^2 - 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x(-8)}{(x^2 - 4)^2} \] \[ y' = \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2} = 0 \] \[ -16x = 0 \implies x = 0 \] Критическая точка: \( x = 0 \).
4. Исследовать поведение функции на промежутках, определенных критическими точками и точками разрыва:
\[ \text{На промежутке } (-\infty, -2) \cup (-2, 0): \] \[ y' = \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2} > 0 \text{ (так как } x < 0 \text{ и } x^2 - 4 > 0) \] Функция возрастает на промежутке \( (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \). \[ \text{На промежутке } (0, 2) \cup (2, \infty): \] \[ y' = \frac{-16x}{(x^2 - 4)^2} < 0 \text{ (так как } x > 0 \text{ и } x^2 - 4 > 0) \] Функция убывает на промежутке \( (0, 2) \cup (2, \infty) \).
5. Найти значения функции в критических точках и на границах промежутков:
\[ y(0) = \frac{0^2 + 4}{0^2 - 4} = \frac{4}{-4} = -1 \] \[ y(-2) \text{ и } y(2) \text{ не существуют, так как } x = \pm 2 \text{ не входят в ОДЗ.} \]
6. Построить график функции:
График функции \( y = \frac{x^2 + 4}{x^2 - 4} \) будет иметь вертикальные асимптоты в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \), горизонтальную асимптоту \( y = 1 \), и критическую точку в \( x = 0 \) с минимумом \( y = -1 \).

Ответ:
Критическая точка: \( x = 0 \)
Минимальное значение: \( y = -1 \)
График функции имеет вертикальные асимптоты в точках \( x = -2 \) и \( x = 2 \), горизонтальную асимптоту \( y = 1 \).