Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x-2}{x^2+5}\).

Ответ

NaN

Решение № 43583:

Для исследования функции \( y = \frac{x-2}{x^2+5} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции \( y \).
\[ y = \frac{x-2}{x^2+5} \] Знаменатель \( x^2 + 5 \) никогда не равен нулю, так как \( x^2 \geq 0 \) и \( x^2 + 5 \geq 5 \). Следовательно, функция определена для всех \( x \in (-\infty, \infty) \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-2}{x^2+5} \right) \] Используем правило производной частного: \[ y' = \frac{(x^2+5) \cdot 1 - (x-2) \cdot 2x}{(x^2+5)^2} \] Упростим числитель: \[ y' = \frac{x^2 + 5 - 2x(x-2)}{(x^2+5)^2} = \frac{x^2 + 5 - 2x^2 + 4x}{(x^2+5)^2} = \frac{-x^2 + 4x + 5}{(x^2+5)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -x^2 + 4x + 5 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ x^2 - 4x - 5 = 0 \] Используем формулу для решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -4 \), \( c = -5 \): \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \]
4. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках:
\[ y(-1) = \frac{-1-2}{(-1)^2+5} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] \[ y(5) = \frac{5-2}{5^2+5} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \]
5. Исследовать поведение функции на бесконечности:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x-2}{x^2+5} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x-2}{x^2+5} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0 \]
6. Построить график функции \( y = \frac{x-2}{x^2+5} \):
Для построения графика можно использовать программное обеспечение, например, графический калькулятор или специализированные программы для построения графиков функций, такие как Wolfram Alpha или Desmos.

Ответ:
Функция \( y = \frac{x-2}{x^2+5} \) имеет критические точки в \( x = -1 \) и \( x = 5 \). Значения функции в этих точках: \( y(-1) = -\frac{1}{2} \) и \( y(5) = \frac{1}{10} \). Поведение функции на бесконечности: \( \lim_{x \to \infty} y = 0 \) и \( \lim_{x \to -\infty} y = 0 \).