Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\sqrt{\frac{x-1}{x}}\).

Ответ

NaN

Решение № 43592:

Для исследования функции \( y = \sqrt{\frac{x-1}{x}} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ \frac{x-1}{x} \geq 0 \] Это неравенство можно переписать как: \[ \frac{x-1}{x} \geq 0 \implies x(x-1) \geq 0 \quad \text{и} \quad x \neq 0 \]
2. Решить неравенство \( x(x-1) \geq 0 \):
\[ x(x-1) \geq 0 \] Это неравенство выполняется при: \[ x \leq 0 \quad \text{или} \quad x \geq 1 \] Поскольку \( x \neq 0 \), ОДЗ функции: \[ x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty) \]
3. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \sqrt{\frac{x-1}{x}} \] Для нахождения производной используем цепное правило: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{x-1}{x}} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x} \right) \] Найдем производную внутренней функции: \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x-1}{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( 1 - \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x^2} \] Таким образом: \[ y' = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{2x^2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ y' = \frac{1}{2x^2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}} = 0 \] Поскольку \( \frac{1}{2x^2 \sqrt{\frac{x-1}{x}}} \neq 0 \) для всех \( x \) в ОДЗ, критических точек нет.
5. Исследовать поведение функции на границах ОДЗ:
\[ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{\frac{x-1}{x}} = \lim_{x \to -\infty} \sqrt{1 - \frac{1}{x}} = \sqrt{1} = 1 \] \[ \lim_{x \to 0^-} y = \lim_{x \to 0^-} \sqrt{\frac{x-1}{x}} = \lim_{x \to 0^-} \sqrt{\frac{-1}{x}} = +\infty \] \[ \lim_{x \to 1^+} y = \lim_{x \to 1^+} \sqrt{\frac{x-1}{x}} = \sqrt{0} = 0 \] \[ \lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{x-1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 - \frac{1}{x}} = \sqrt{1} = 1 \]
6. Построить график функции:
График функции \( y = \sqrt{\frac{x-1}{x}} \) можно построить, учитывая найденные пределы и ОДЗ.

Ответ:
График функции \( y = \sqrt{\frac{x-1}{x}} \) будет иметь следующие особенности:
- Функция определена на \( x \in (-\infty, 0) \cup [1, +\infty) \).
- Функция стремится к 1 при \( x \to -\infty \) и \( x \to +\infty \).
- Функция стремится к \( +\infty \) при \( x \to 0^- \).
- Функция равна 0 при \( x = 1 \).
- Нет критических точек в ОДЗ.