Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=2\sqrt{x}-x\).

Ответ

NaN

Решение № 43590:

Для исследования функции \( y = 2\sqrt{x} - x \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ y = 2\sqrt{x} - x \] Поскольку подкоренное выражение должно быть неотрицательным, \( x \geq 0 \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(2\sqrt{x} - x) \] \[ y' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \] \[ \frac{1}{\sqrt{x}} = 1 \] \[ \sqrt{x} = 1 \] \[ x = 1 \]
4. Определить интервалы возрастания и убывания функции:
\[ y' = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \] Производная \( y' \) положительна, когда \( \frac{1}{\sqrt{x}} > 1 \), то есть \( \sqrt{x} < 1 \) или \( 0 < x < 1 \). Производная \( y' \) отрицательна, когда \( \frac{1}{\sqrt{x}} < 1 \), то есть \( \sqrt{x} > 1 \) или \( x > 1 \).
5. Построить таблицу значений функции для построения графика:
\[ \begin{array}{c|c} x & y = 2\sqrt{x} - x \\ \hline 0 & 0 \\ 0.25 & 2\sqrt{0.25} - 0.25 = 1 - 0.25 = 0.75 \\ 0.5 & 2\sqrt{0.5} - 0.5 \approx 1.41 - 0.5 = 0.91 \\ 1 & 2\sqrt{1} - 1 = 2 - 1 = 1 \\ 1.5 & 2\sqrt{1.5} - 1.5 \approx 2.45 - 1.5 = 0.95 \\ 2 & 2\sqrt{2} - 2 \approx 2.83 - 2 = 0.83 \\ 3 & 2\sqrt{3} - 3 \approx 3.46 - 3 = 0.46 \\ 4 & 2\sqrt{4} - 4 = 4 - 4 = 0 \\ \end{array} \]
6. Построить график функции:
\[ \text{График функции } y = 2\sqrt{x} - x \text{ можно построить, используя таблицу значений.} \]

Ответ:
График функции \( y = 2\sqrt{x} - x \) будет иметь следующий вид:
 Пояснение:
Функция возрастает на интервале \( (0, 1) \) и убывает на интервале \( (1, \infty) \). Критическая точка \( x = 1 \) является точкой максимума функции.