Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=(x-3)\sqrt{x}\).

Ответ

NaN

Решение № 43593:

Для исследования функции \( y = (x-3)\sqrt{x} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ y = (x-3)\sqrt{x} \] Функция определена для \( x \geq 0 \), так как корень из \( x \) существует только для неотрицательных значений \( x \). \[ \text{ОДЗ: } x \geq 0 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( (x-3)\sqrt{x} \right) \] Используем правило производной произведения: \[ y' = (x-3) \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x} \right) + \sqrt{x} \cdot \frac{d}{dx} (x-3) \] \[ y' = (x-3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \cdot 1 \] \[ y' = \frac{x-3}{2\sqrt{x}} + \sqrt{x} \] Упростим выражение: \[ y' = \frac{x-3 + 2x}{2\sqrt{x}} = \frac{3x - 3}{2\sqrt{x}} \] \[ y' = \frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}} = 0 \] \[ 3(x-1) = 0 \] \[ x - 1 = 0 \] \[ x = 1 \] Также необходимо проверить точки, где производная не существует. В данном случае это точка \( x = 0 \).
4. Изучить поведение функции на интервалах, разделенных критическими точками:
\[ \text{Интервалы: } (0, 1), (1, \infty) \]
5. Определить знак производной на каждом интервале:
\[ \text{На интервале } (0, 1): \] \[ y' = \frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}} < 0 \quad \text{(так как } x-1 < 0 \text{)} \] \[ \text{На интервале } (1, \infty): \] \[ y' = \frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}} > 0 \quad \text{(так как } x-1 > 0 \text{)} \]
6. Определить промежутки монотонности функции:
\[ \text{Функция убывает на интервале } (0, 1) \] \[ \text{Функция возрастает на интервале } (1, \infty) \]
7. Найти значения функции в критических точках:
\[ y(0) = (0-3)\sqrt{0} = 0 \] \[ y(1) = (1-3)\sqrt{1} = -2 \]
8. Построить график функции:
График функции \( y = (x-3)\sqrt{x} \) можно построить, используя значения функции в критических точках и на концах интервалов. График будет иметь точку минимума в \( x = 1 \) со значением \( y = -2 \) и точку пересечения с осью \( y \) в \( x = 0 \) со значением \( y = 0 \).

График функции \( y = (x-3)\sqrt{x} \) будет иметь вид параболы, открытой вверх, с минимумом в точке \( (1, -2) \) и точкой пересечения с осью \( y \) в \( (0, 0) \).