Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}\).

Ответ

NaN

Решение № 43595:

Для исследования функции \( y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ \sqrt{x^2 - 1} \text{ определено, если } x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x < -1 \text{ или } x > 1 \]
Таким образом, ОДЗ функции: \( x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \right) \]
Применим правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{(x^2 - 1)} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}}}{(x^2 - 1)} \] \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}}}{(x^2 - 1)} = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x^2 - 1} \] \[ y' = \frac{x^2 - 1 - x^2}{(x^2 - 1)^{3/2}} = \frac{-1}{(x^2 - 1)^{3/2}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ y' = \frac{-1}{(x^2 - 1)^{3/2}} = 0 \]
Это уравнение не имеет решений, так как числитель равен \(-1\), а знаменатель никогда не равен нулю в ОДЗ.
4. Исследовать поведение функции на концах ОДЗ:

На концах ОДЗ \( x \to \pm 1 \), функция стремится к бесконечности: \[ \lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = +\infty \] \[ \lim_{x \to -1^-} \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = -\infty \]
5. Построить график функции:

График функции \( y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \) будет иметь вертикальные асимптоты при \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Функция будет положительной для \( x > 1 \) и отрицательной для \( x < -1 \).

График функции будет выглядеть следующим образом: ``` y | | | | | |_____________x_____________ -1 0 1 ``` График будет иметь гиперболический характер с асимптотами при \( x = -1 \) и \( x = 1 \).