Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x}{2}+\frac{2}{x}\).

Ответ

NaN

Решение № 43580:

Для исследования функции \( y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции \( y \):
\[ y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \] Функция определена для всех \( x \neq 0 \), так как при \( x = 0 \) знаменатель становится равным нулю.
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2} + \frac{2}{x}\right) = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ \frac{1}{2} = \frac{2}{x^2} \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \]
5. Определить интервалы монотонности функции:
• Для \( x \in (-\infty, -2) \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
• Для \( x \in (-2, 0) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)
• Для \( x \in (0, 2) \): \( y' > 0 \) (функция возрастает)
• Для \( x \in (2, \infty) \): \( y' < 0 \) (функция убывает)
6. Найти значения функции в критических точках:
\[ f(-2) = \frac{-2}{2} + \frac{2}{-2} = -1 - 1 = -2 \] \[ f(2) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2 \]
7. Построить график функции \( y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \):
График функции \( y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \) будет иметь две ветви, так как функция не определена в \( x = 0 \). Она будет иметь вертикальную асимптоту в \( x = 0 \).

Ответ:
Критические точки: \( x = -2 \) и \( x = 2 \)
Интервалы монотонности:

• Убывание: \( (-\infty, -2) \) и \( (2, \infty) \)
• Возрастание: \( (-2, 0) \) и \( (0, 2) \)

Значения в критических точках:

• \( f(-2) = -2 \)
• \( f(2) = 2 \)

График функции будет иметь вертикальную асимптоту в \( x = 0 \).