Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{-2}{x^2+4}\).

Ответ

NaN

Решение № 43577:

Для исследования функции \( y = \frac{-2}{x^2 + 4} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции.

Функция \( y = \frac{-2}{x^2 + 4} \) определена для всех \( x \) из множества действительных чисел, так как знаменатель \( x^2 + 4 \) всегда положителен и не равен нулю.

\[ \text{ОДЗ: } x \in (-\infty, \infty) \]
2. Найти производную функции \( y \).
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{-2}{x^2 + 4}\right) \]

Используем правило дифференцирования частного:

\[ y' = \frac{0 \cdot (x^2 + 4) - (-2) \cdot (2x)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{4x}{(x^2 + 4)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \).
\[ \frac{4x}{(x^2 + 4)^2} = 0 \]

Это уравнение будет равно нулю, когда числитель равен нулю:

\[ 4x = 0 \implies x = 0 \]
4. Исследовать поведение функции на промежутках, разделенных критическими точками.

Критическая точка \( x = 0 \) делит область определения функции на два промежутка: \( (-\infty, 0) \) и \( (0, \infty) \).

5. Определить знак производной на этих промежутках.
\[ \text{На промежутке } (-\infty, 0): \text{ выберем } x = -1 \] \[ y'(-1) = \frac{4(-1)}{((-1)^2 + 4)^2} = \frac{-4}{25} < 0 \implies \text{функция убывает} \] \[ \text{На промежутке } (0, \infty): \text{ выберем } x = 1 \] \[ y'(1) = \frac{4(1)}{(1^2 + 4)^2} = \frac{4}{25} > 0 \implies \text{функция возрастает} \]
6. Найти экстремумы функции.

Поскольку производная меняет знак при переходе через точку \( x = 0 \), в этой точке функция имеет локальный минимум:

\[ y(0) = \frac{-2}{0^2 + 4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \]
7. Исследовать поведение функции на бесконечности.
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{-2}{x^2 + 4} = 0 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{x^2 + 4} = 0 \]

Таким образом, при \( x \to \pm\infty \) функция стремится к нулю.

8. Построить график функции.

Для построения графика функции \( y = \frac{-2}{x^2 + 4} \) можно воспользоваться онлайн-инструментами, такими как Desmos или GeoGebra, и ввести выражение функции. График будет иметь следующие характеристики:

• Функция определена для всех \( x \).
• Функция имеет локальный минимум в точке \( (0, -\frac{1}{2}) \).
• Функция стремится к нулю при \( x \to \pm\infty \).

Ответ:
Функция \( y = \frac{-2}{x^2 + 4} \) имеет локальный минимум в точке \( (0, -\frac{1}{2}) \) и стремится к нулю при \( x \to \pm\infty \).