Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{2x+1}{x^2+2}\).

Ответ

NaN

Решение № 43582:

Для исследования функции \( y = \frac{2x+1}{x^2+2} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
Функция \( y = \frac{2x+1}{x^2+2} \) определена для всех \( x \in \mathbb{R} \), так как знаменатель \( x^2 + 2 \) никогда не равен нулю.
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2x+1}{x^2+2} \right) \] Используем правило производной частного: \[ y' = \frac{(2x+1)'(x^2+2) - (2x+1)(x^2+2)'}{(x^2+2)^2} \] \[ y' = \frac{2(x^2+2) - (2x+1)(2x)}{(x^2+2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 4 - 4x^2 - 2x}{(x^2+2)^2} \] \[ y' = \frac{-2x^2 - 2x + 4}{(x^2+2)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -2x^2 - 2x + 4 = 0 \] Делим уравнение на -2: \[ x^2 + x - 2 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \] \[ x = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]
4. Исследовать поведение функции в окрестности критических точек:
Для этого проверим знак производной в точках слева и справа от критических точек. - Для \( x = -2 \): \[ y'(-3) = \frac{-2(-3)^2 - 2(-3) + 4}{((-3)^2 + 2)^2} = \frac{-18 + 6 + 4}{11^2} = \frac{-8}{121} < 0 \] \[ y'(-1) = \frac{-2(-1)^2 - 2(-1) + 4}{((-1)^2 + 2)^2} = \frac{-2 + 2 + 4}{3^2} = \frac{4}{9} > 0 \] - Для \( x = 1 \): \[ y'(0) = \frac{-2(0)^2 - 2(0) + 4}{(0^2 + 2)^2} = \frac{4}{4} = 1 > 0 \] \[ y'(2) = \frac{-2(2)^2 - 2(2) + 4}{(2^2 + 2)^2} = \frac{-8 - 4 + 4}{6^2} = \frac{-8}{36} < 0 \]
5. Определить экстремумы функции:
- В точке \( x = -2 \) функция имеет минимум: \[ y(-2) = \frac{2(-2) + 1}{(-2)^2 + 2} = \frac{-4 + 1}{4 + 2} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] - В точке \( x = 1 \) функция имеет максимум: \[ y(1) = \frac{2(1) + 1}{1^2 + 2} = \frac{2 + 1}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \]
6. Построить график функции:
Для построения графика функции \( y = \frac{2x+1}{x^2+2} \) можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков. График будет иметь минимум в точке \( x = -2 \) и максимум в точке \( x = 1 \).

Ответ:
Критические точки: \( x = -2 \) и \( x = 1 \)
Минимум: \( y = -\frac{1}{2} \) в точке \( x = -2 \)
Максимум: \( y = 1 \) в точке \( x = 1 \)