Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(-x^4-2x^2+8=a\) не имеет корней?

Ответ

NaN

Решение № 43599:

Для решения задачи о нахождении значений параметра \(a\), при которых уравнение \(-x^4 - 2x^2 + 8 = a\) не имеет корней, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в виде, удобном для анализа:
\[ -x^4 - 2x^2 + 8 = a \]
2. Примем \(y = -x^4 - 2x^2 + 8\) и построим график функции \(y\).
3. Найдем производную функции \(y\):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 - 2x^2 + 8) = -4x^3 - 4x \]
4. Найдем критические точки, решив уравнение \(y' = 0\):
\[ -4x^3 - 4x = 0 \implies -4x(x^2 + 1) = 0 \]
5. Решим уравнение относительно \(x\):
\[ -4x(x^2 + 1) = 0 \implies x = 0 \quad \text{или} \quad x^2 + 1 = 0 \quad (\text{не имеет реальных решений}) \]
6. Проанализируем значения функции \(y\) в критической точке \(x = 0\):
\[ y(0) = -0^4 - 2 \cdot 0^2 + 8 = 8 \]
7. Определим поведение функции \(y\) на интервалах \((-\infty, 0)\) и \((0, \infty)\):
• На интервале \((-\infty, 0)\): \[ y' = -4x(x^2 + 1) \quad \text{отрицательно, так как} \quad x < 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 1 > 0 \]
• На интервале \((0, \infty)\): \[ y' = -4x(x^2 + 1) \quad \text{отрицательно, так как} \quad x > 0 \quad \text{и} \quad x^2 + 1 > 0 \]
8. Следовательно, функция \(y\) убывает на всей числовой прямой и имеет максимум в точке \(x = 0\), равный 8.
9. Для того чтобы уравнение \(-x^4 - 2x^2 + 8 = a\) не имело корней, значение \(a\) должно быть больше максимального значения функции \(y\):
\[ a > 8 \]

Ответ:
Значения параметра \(a\), при которых уравнение \(-x^4 - 2x^2 + 8 = a\) не имеет корней: \(a > 8\)