Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Сколько корней имеет заданное уранение при указанных ограничениях на параметр \(a\): \(-x^3-3x^2-2=a\), \(a<-2\).

Ответ

1

Решение № 43601:

Для нахождения количества корней уравнения \(-x^3 - 3x^2 - 2 = a\) при условии \(a < -2\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Рассмотрим функцию \( f(x) = -x^3 - 3x^2 - 2 \).
2. Найдем производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 - 3x^2 - 2) = -3x^2 - 6x \]
3. Найдем критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ -3x^2 - 6x = 0 \]
4. Вынесем общий множитель: \[ -3x(x + 2) = 0 \]
5. Решим уравнение относительно \( x \): \[ x_1 = 0, \quad x_2 = -2 \]
6. Проверим значения функции в критических точках и на концах интервала: \[ f(0) = -0^3 - 3 \cdot 0^2 - 2 = -2 \] \[ f(-2) = -(-2)^3 - 3(-2)^2 - 2 = 8 - 12 - 2 = -6 \]
7. Построим таблицу значений функции \( f(x) \) и её производной \( f'(x) \) в ключевых точках: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -\infty & -2 & 0 & \infty \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \infty & -6 & -2 & \infty \\ \hline \end{array} \]
8. Анализируем поведение функции \( f(x) \) на интервалах: - На интервале \((-\infty, -2)\) функция возрастает. - На интервале \((-2, 0)\) функция убывает. - На интервале \((0, \infty)\) функция возрастает.
9. Так как \( a < -2 \), то \( f(x) = a \) будет иметь ровно один корень в интервале \((-\infty, -2)\), поскольку функция возрастает и достигает значения \(-6\) в точке \( x = -2 \).
10. На интервале \((-2, 0)\) функция убывает и не достигает значений меньше \(-2\), поэтому корней не будет.
11. На интервале \((0, \infty)\) функция возрастает, но начальное значение \( f(0) = -2 \), и так как \( a < -2 \), корней также не будет.

Ответ:
Количество корней: \( 1 \)