Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Решите уравнение: \(3\sqrt{x+1}=-x^3+3x^2+6\).
Ответ
3
Решение № 43605:
Для решения уравнения \(3\sqrt{x+1}=-x^3+3x^2+6\), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Определить область допустимых значений (ОДЗ) для уравнения. Поскольку под корнем стоит выражение \(x+1\), оно должно быть неотрицательным:
\[
x + 1 \geq 0 \implies x \geq -1
\]
-
Перенести все члены уравнения в одну сторону, чтобы приравнять их к нулю:
\[
3\sqrt{x+1} - (-x^3 + 3x^2 + 6) = 0 \implies 3\sqrt{x+1} + x^3 - 3x^2 - 6 = 0
\]
-
Ввести замену переменной для упрощения уравнения. Пусть \(y = \sqrt{x+1}\), тогда \(y^2 = x + 1\) и \(x = y^2 - 1\). Подставим \(x\) в уравнение:
\[
3y + (y^2 - 1)^3 - 3(y^2 - 1)^2 - 6 = 0
\]
-
Расширить и упростить выражение:
\[
3y + (y^2 - 1)^3 - 3(y^2 - 1)^2 - 6 = 0
\]
\[
(y^2 - 1)^3 = y^6 - 3y^4 + 3y^2 - 1
\]
\[
(y^2 - 1)^2 = y^4 - 2y^2 + 1
\]
\[
3y + y^6 - 3y^4 + 3y^2 - 1 - 3(y^4 - 2y^2 + 1) - 6 = 0
\]
\[
3y + y^6 - 3y^4 + 3y^2 - 1 - 3y^4 + 6y^2 - 3 - 6 = 0
\]
\[
y^6 - 6y^4 + 9y^2 + 3y - 10 = 0
\]
-
Решить полученное уравнение относительно \(y\). Это уравнение шестой степени, и его решение может быть сложным. В данном случае можно попробовать численные методы или специальные алгоритмы для нахождения корней.
-
После нахождения всех корней \(y\), вернуться к исходной переменной \(x\):
\[
x = y^2 - 1
\]
-
Проверить, какие из найденных значений \(x\) удовлетворяют ОДЗ \(x \geq -1\).
-
Подставить найденные значения \(x\) обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они являются решениями.
Примечание: Поскольку уравнение шестой степени может не иметь аналитического решения, для его решения можно использовать численные методы или графический анализ.