Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,
Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс
Сложность задачи : 1
Информация о книге не найдена
Условие
Сколько корней имеет уранение \(x^3+ax+2=0\) при различных значениях параметра \(a\)?
Ответ
1 корень, если \(a=-3\).
Решение № 43604:
Для определения количества корней уравнения \( x^3 + ax + 2 = 0 \) при различных значениях параметра \( a \), необходимо выполнить следующие шаги:
-
Записать функцию \( f(x) \), соответствующую уравнению:
\[
f(x) = x^3 + ax + 2
\]
-
Найти производную функции \( f(x) \):
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 + ax + 2) = 3x^2 + a
\]
-
Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[
3x^2 + a = 0
\]
-
Решить уравнение относительно \( x \):
\[
3x^2 + a = 0 \implies x^2 = -\frac{a}{3} \implies x = \pm \sqrt{-\frac{a}{3}}
\]
-
Рассмотреть различные случаи в зависимости от значения \( a \):
-
Случай 1: \( a \geq 0 \)
-
В этом случае \( -\frac{a}{3} \leq 0 \), следовательно, \( x^2 = -\frac{a}{3} \) не имеет реальных решений. Это означает, что производная \( f'(x) \) не имеет корней, и функция \( f(x) \) является монотонной.
-
Поскольку \( f(x) \) монотонна, уравнение \( x^3 + ax + 2 = 0 \) имеет ровно один корень.
-
Случай 2: \( a < 0 \)
-
В этом случае \( -\frac{a}{3} > 0 \), следовательно, \( x^2 = -\frac{a}{3} \) имеет два реальных решения:
\[
x_1 = \sqrt{-\frac{a}{3}}, \quad x_2 = -\sqrt{-\frac{a}{3}}
\]
-
Это означает, что производная \( f'(x) \) имеет два корня, и функция \( f(x) \) имеет экстремумы в этих точках.
-
Проверим значения функции в этих точках:
\[
f\left(\sqrt{-\frac{a}{3}}\right) = \left(\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)^3 + a\left(\sqrt{-\frac{a}{3}}\right) + 2 = -\frac{a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}} + a\sqrt{-\frac{a}{3}} + 2 = 2
\]
\[
f\left(-\sqrt{-\frac{a}{3}}\right) = \left(-\sqrt{-\frac{a}{3}}\right)^3 + a\left(-\sqrt{-\frac{a}{3}}\right) + 2 = \frac{a}{3}\sqrt{-\frac{a}{3}} - a\sqrt{-\frac{a}{3}} + 2 = 2
\]
-
Поскольку значения функции в критических точках равны 2, функция пересекает ось абсцисс ровно один раз.
Ответ:
При любом значении параметра \( a \) уравнение \( x^3 + ax + 2 = 0 \) имеет ровно один корень.