Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{1}{x^2+1}\).

Ответ

NaN

Решение № 43578:

Для исследования функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции:
\[ y = \frac{1}{x^2 + 1} \] Функция определена для всех \( x \), так как знаменатель \( x^2 + 1 \) всегда положителен и не равен нулю. \[ \text{Область определения: } x \in (-\infty, \infty) \]
2. Найти симметрии функции:
\[ y = \frac{1}{x^2 + 1} \] Функция является четной, так как \( y(-x) = y(x) \).
3. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + 1} \right) \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \] \[ 2x = 0 \implies x = 0 \]
5. Исследовать поведение функции на интервалах:
\[ \text{Для } x < 0, \text{ производная } y' < 0 \text{ (функция убывает)} \] \[ \text{Для } x > 0, \text{ производная } y' < 0 \text{ (функция убывает)} \]
6. Найти пределы функции при \( x \to \pm \infty \):
\[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2 + 1} = 0 \]
7. Исследовать поведение функции при \( x = 0 \):
\[ f(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1 \]
8. Построить график функции:
График функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) будет симметричным относительно оси \( y \) и будет иметь максимум в точке \( (0, 1) \). При \( x \to \pm \infty \) значения функции стремятся к нулю.

Ответ:
Область определения: \( x \in (-\infty, \infty) \)
Критическая точка: \( x = 0 \)
Максимум: \( f(0) = 1 \)
Пределы: \( \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2 + 1} = 0 \)
График функции симметричен относительно оси \( y \) и имеет максимум в точке \( (0, 1) \).