Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x}{x^2-4}\).

Ответ

NaN

Решение № 43584:

Для исследования функции \( y = \frac{x}{x^2 - 4} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2 \] Таким образом, ОДЗ функции: \( x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty) \).
2. Найти точки разрыва функции:
\[ x = \pm 2 \] В этих точках функция имеет разрывы второго рода (вертикальные асимптоты).
3. Найти вертикальные асимптоты:
\[ x = \pm 2 \] В этих точках функция стремится к бесконечности.
4. Найти горизонтальные асимптоты:
\[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x}{x^2 (1 - \frac{4}{x^2})} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x (1 - \frac{4}{x^2})} = 0 \] Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \).
5. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{x^2 - 4} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 - 4) \cdot 1 - x \cdot (2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^2 - 4 - 2x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 4)^2} \]
6. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = -4 \] Это уравнение не имеет решений, так как \( x^2 \) не может быть отрицательным. Следовательно, критических точек нет.
7. Исследовать поведение функции на промежутках:
\[ y' = \frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 4)^2} \] Производная всегда отрицательна, так как числитель всегда отрицателен, а знаменатель всегда положителен. Следовательно, функция убывает на всех промежутках \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, \infty) \).
8. Построить график функции:
Для построения графика можно использовать программное обеспечение или онлайн-калькуляторы. График функции будет иметь вертикальные асимптоты в точках \( x = \pm 2 \) и горизонтальную асимптоту \( y = 0 \). Функция будет убывать на всех промежутках.

Ответ:
Функция \( y = \frac{x}{x^2 - 4} \) имеет вертикальные асимптоты в точках \( x = \pm 2 \) и горизонтальную асимптоту \( y = 0 \). Функция убывает на всех промежутках \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, \infty) \).