Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Сколько корней имеет заданное уранение при указанных ограничениях на параметр \(a\): \(3x^2-x^3=a\), \(0

Ответ

3

Решение № 43602:

Для нахождения количества корней уравнения \(3x^2 - x^3 = a\) при указанных ограничениях на параметр \(a\): \(0 < a < 4\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в стандартный вид:
\[ x^3 - 3x^2 + a = 0 \]
2. Найдем производную функции \(f(x) = x^3 - 3x^2 + a\):
\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]
3. Найдем критические точки, решив уравнение \(f'(x) = 0\):
\[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x = 2 \]
4. Исследуем знаки производной \(f'(x)\) на интервалах \((- \infty, 0)\), \((0, 2)\) и \((2, \infty)\):

Для \(x \in (-\infty, 0)\): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x > 0 \quad (\text{так как } x < 0) \]
Для \(x \in (0, 2)\): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x < 0 \quad (\text{так как } 0 < x < 2) \]
Для \(x \in (2, \infty)\): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x > 0 \quad (\text{так как } x > 2) \]
5. Таким образом, функция \(f(x)\) имеет максимум в точке \(x = 0\) и минимум в точке \(x = 2\).
6. Вычислим значения функции в этих точках:
\[ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + a = a \] \[ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + a = 8 - 12 + a = a - 4 \]
7. Так как \(0 < a < 4\), то:
\[ f(0) = a > 0 \] \[ f(2) = a - 4 < 0 \]
8. Таким образом, функция \(f(x)\) имеет один максимум в точке \(x = 0\) и один минимум в точке \(x = 2\).
9. Поскольку функция \(f(x)\) имеет один максимум и один минимум, и значения функции в этих точках имеют разные знаки, уравнение \(3x^2 - x^3 = a\) имеет три корня в интервале \((0, 2)\).

Ответ:
Количество корней: \(3\)