Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\sqrt{x+4}+\frac{2}{3}\sqrt{9-3x}\).

Ответ

NaN

Решение № 43591:

Для исследования функции \( y = \sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции \( y \):
Для того чтобы функция была определена, оба выражения под корнями должны быть неотрицательными: \[ \begin{cases} x + 4 \geq 0 \\ 9 - 3x \geq 0 \end{cases} \] Решая эти неравенства, получаем: \[ \begin{cases} x \geq -4 \\ x \leq 3 \end{cases} \] Таким образом, ОДЗ функции: \[ -4 \leq x \leq 3 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x}\right) \] Используем правило дифференцирования для каждого слагаемого: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{9-3x}} \cdot (-3) \] Упрощаем выражение: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x+4}} - \frac{1}{\sqrt{9-3x}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{1}{2\sqrt{x+4}} - \frac{1}{\sqrt{9-3x}} = 0 \] Приравниваем числители: \[ \frac{1}{2\sqrt{x+4}} = \frac{1}{\sqrt{9-3x}} \] Умножаем обе части на \( 2\sqrt{x+4} \cdot \sqrt{9-3x} \): \[ \sqrt{9-3x} = 2\sqrt{x+4} \] Возводим обе части в квадрат: \[ 9 - 3x = 4(x + 4) \] Решаем уравнение: \[ 9 - 3x = 4x + 16 \] \[ 9 - 16 = 4x + 3x \] \[ -7 = 7x \] \[ x = -1 \]
4. Проверить, какие из критических точек попадают в ОДЗ:
Критическая точка \( x = -1 \) попадает в ОДЗ \([-4; 3]\).
5. Вычислить значения функции \( y \) в критических точках и на концах отрезка:
\[ y(-4) = \sqrt{-4+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(-4)} = 0 + \frac{2}{3}\sqrt{21} = \frac{2}{3}\sqrt{21} \] \[ y(3) = \sqrt{3+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(3)} = \sqrt{7} + \frac{2}{3}\sqrt{0} = \sqrt{7} \] \[ y(-1) = \sqrt{-1+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3(-1)} = \sqrt{3} + \frac{2}{3}\sqrt{12} = \sqrt{3} + \frac{2}{3} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} \]
6. Сравнить полученные значения и определить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:
Наибольшее значение: \( y(-1) = 3\sqrt{3} \) Наименьшее значение: \( y(-4) = \frac{2}{3}\sqrt{21} \)
7. Построить график функции \( y = \sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x} \):
Для построения графика можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение для построения графиков, такие как Desmos, GeoGebra или MATLAB. Постройте график функции на отрезке \([-4; 3]\).

Ответ:
Наибольшее значение: \( 3\sqrt{3} \)
Наименьшее значение: \( \frac{2}{3}\sqrt{21} \) График функции \( y = \sqrt{x+4} + \frac{2}{3}\sqrt{9-3x} \) можно построить с помощью графического калькулятора или программного обеспечения для построения графиков.