Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x^2-4}{x^2+4}\).

Ответ

NaN

Решение № 43587:

Для исследования функции \( y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции.
\[ y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \] Знаменатель \( x^2 + 4 \) никогда не равен нулю, так как \( x^2 \geq 0 \). Таким образом, функция определена на всей числовой прямой \( (-\infty, \infty) \).
2. Найти значения функции в некоторых ключевых точках:
\[ y(0) = \frac{0^2 - 4}{0^2 + 4} = \frac{-4}{4} = -1 \] \[ y(2) = \frac{2^2 - 4}{2^2 + 4} = \frac{4 - 4}{4 + 4} = \frac{0}{8} = 0 \] \[ y(-2) = \frac{(-2)^2 - 4}{(-2)^2 + 4} = \frac{4 - 4}{4 + 4} = \frac{0}{8} = 0 \]
3. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(2x)(x^2 + 4) - (2x)(x^2 - 4)}{(x^2 + 4)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 + 4) - 2x(x^2 - 4)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x(x^2 + 4 - x^2 + 4)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x(8)}{(x^2 + 4)^2} = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{16x}{(x^2 + 4)^2} = 0 \] Это уравнение равно нулю, когда \( x = 0 \).
5. Исследовать поведение функции на интервалах вокруг критических точек:
\[ \text{Производная } y' = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2} \text{ положительна при } x > 0 \text{ и отрицательна при } x < 0. \] Таким образом, функция имеет минимум в точке \( x = 0 \).
6. Исследовать пределы функции при \( x \to \pm \infty \):
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{4}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \]
7. Построить график функции:
График функции \( y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \) можно построить, используя найденные значения и асимптотическое поведение. График будет иметь минимум в точке \( (0, -1) \) и стремиться к 1 при \( x \to \pm \infty \).

Ответ:
График функции \( y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \) имеет минимум в точке \( (0, -1) \) и стремится к 1 при \( x \to \pm \infty \).