Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Постройте график функции \(y=-x^4+2x^2+8\).

Ответ

NaN

Решение № 43598:

Для построения графика функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 8 \) необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область значений функции:
\[ y = -x^4 + 2x^2 + 8 \] Функция определена на всей числовой прямой \( x \in \mathbb{R} \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^4 + 2x^2 + 8) = -4x^3 + 4x \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -4x^3 + 4x = 0 \] \[ 4x(1 - x^2) = 0 \] \[ 4x(1 - x)(1 + x) = 0 \]
4. Решить уравнение относительно \( x \):
\[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \]
5. Определить, где функция возрастает, а где убывает:
\[ y' = -4x^3 + 4x \]
• Для \( x < -1 \) и \( x > 1 \), \( y' < 0 \) (функция убывает).
• Для \( -1 < x < 1 \), \( y' > 0 \) (функция возрастает).
6. Найти значения функции в критических точкаx:
\[ f(0) = -0^4 + 2 \cdot 0^2 + 8 = 8 \] \[ f(1) = -1^4 + 2 \cdot 1^2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 \] \[ f(-1) = -(-1)^4 + 2 \cdot (-1)^2 + 8 = -1 + 2 + 8 = 9 \]
7. Построить график функции:
Для построения графика можно использовать программное обеспечение, такое как Wolfram Alpha, Desmos или Python с библиотекой matplotlib. Вот пример кода на Python: ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(-3, 3, 400) y = -x**4 + 2*x**2 + 8 plt.plot(x, y, label='y = -x^4 + 2x^2 + 8') plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5) plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5) plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5) plt.legend() plt.show() ```
8. Анализ графика:
• Функция имеет максимум в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \) со значением \( y = 9 \).
• Функция имеет минимум в точке \( x = 0 \) со значением \( y = 8 \).
• Функция убывает на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, \infty) \).
• Функция возрастает на интервале \( (-1, 1) \).

Ответ:
График функции \( y = -x^4 + 2x^2 + 8 \) имеет максимумы в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \) со значением \( y = 9 \), и минимум в точке \( x = 0 \) со значением \( y = 8 \). Функция убывает на интервалах \( (-\infty, -1) \) и \( (1, \infty) \), и возрастает на интервале \( (-1, 1) \).