Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x^2+4}{x}\).

Ответ

NaN

Решение № 43581:

Для исследования функции \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ y = \frac{x^2 + 4}{x} \] Знаменатель не должен быть равен нулю, следовательно: \[ x \neq 0 \]
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2 + 4}{x} \right) \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 + 4)' \cdot x - (x^2 + 4) \cdot x'}{x^2} = \frac{(2x) \cdot x - (x^2 + 4) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - (x^2 + 4)}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ \frac{x^2 - 4}{x^2} = 0 \] Это возможно только если: \[ x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \]
4. Исследовать знаки производной \( y' \) на интервалах, определяемых критическими точками \( x = -2 \) и \( x = 2 \):
• На интервале \( (-\infty, -2) \): \[ y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} > 0 \quad \text{(так как \( x^2 - 4 > 0 \))} \]
• На интервале \( (-2, 0) \): \[ y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} < 0 \quad \text{(так как \( x^2 - 4 < 0 \))} \]
• На интервале \( (0, 2) \): \[ y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} < 0 \quad \text{(так как \( x^2 - 4 < 0 \))} \]
• На интервале \( (2, \infty) \): \[ y' = \frac{x^2 - 4}{x^2} > 0 \quad \text{(так как \( x^2 - 4 > 0 \))} \]
5. Определить характер критических точек:
• В точке \( x = -2 \): \[ y' \text{ меняет знак с положительного на отрицательный, следовательно, это точка локального максимума.} \]
• В точке \( x = 2 \): \[ y' \text{ меняет знак с отрицательного на положительный, следовательно, это точка локального минимума.} \]
6. Вычислить значения функции в критических точках:
\[ y(-2) = \frac{(-2)^2 + 4}{-2} = \frac{4 + 4}{-2} = \frac{8}{-2} = -4 \] \[ y(2) = \frac{(2)^2 + 4}{2} = \frac{4 + 4}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
7. Построить график функции:
График функции \( y = \frac{x^2 + 4}{x} \) можно построить, используя полученные значения и анализ производной. График будет иметь вертикальную асимптоту в точке \( x = 0 \) и будет иметь локальный максимум в точке \( x = -2 \) и локальный минимум в точке \( x = 2 \).

Ответ:
Локальный максимум: \( y(-2) = -4 \)
Локальный минимум: \( y(2) = 4 \)
График функции имеет вертикальную асимптоту в точке \( x = 0 \).