Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Сколько корней имеет заданное уранение при указанных ограничениях на параметр \(a\): \(x^3-3x^2=a\), \(-4

Ответ

3

Решение № 43600:

Для нахождения количества корней уравнения \(x^3 - 3x^2 = a\) при условиях \(-4 < a < 0\), необходимо выполнить следующие шаги:

1. Перепишем уравнение в виде функции: \[ f(x) = x^3 - 3x^2 \]
2. Найдем производную функции \(f(x)\): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]
3. Найдем критические точки, решив уравнение \(f'(x) = 0\): \[ 3x^2 - 6x = 0 \]
4. Решим уравнение относительно \(x\): \[ 3x(x - 2) = 0 \]
5. Получаем два корня: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \]
6. Исследуем поведение функции \(f(x)\) в окрестности критических точек и на концах отрезка. Для этого найдем значения функции в этих точках: \[ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 = 0 \] \[ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4 \]
7. Проанализируем значения функции на концах отрезка и в критических точках: \[ f(0) = 0 \] \[ f(2) = -4 \]
8. Построим график функции \(f(x) = x^3 - 3x^2\) для лучшего понимания: \[ \text{График функции показывает, что она имеет максимум в точке } x = 0 \text{ и минимум в точке } x = 2. \]
9. Определим, какие значения \(a\) в пределах \(-4 < a < 0\) приводят к какому количеству корней: \[ \text{Если } -4 < a < 0, \text{ то функция } f(x) \text{ имеет три корня.} \]
10. Заключение: \[ \text{При } -4 < a < 0 \text{ уравнение } x^3 - 3x^2 = a \text{ имеет три корня.} \]

Ответ:
Количество корней: \(3\)