Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Сколько корней имеет заданное уранение при указанных ограничениях на параметр \(a\): \(x^3-3x^2+2=a\), \(a>2\).

Ответ

1

Решение № 43603:

Для нахождения количества корней уравнения \( x^3 - 3x^2 + 2 = a \) при условии \( a > 2 \), необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Записать функцию, которую нужно исследовать:** \[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 - a \] 2. **Найти производную функции \( f(x) \):** \[ f'(x) = 3x^2 - 6x \] 3. **Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):** \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x_1 = 0, \quad x_2 = 2 \] 4. **Исследовать поведение функции \( f(x) \) в окрестности критических точек:** - Для \( x < 0 \): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x > 0 \quad \text{(функция возрастает)} \] - Для \( 0 < x < 2 \): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x < 0 \quad \text{(функция убывает)} \] - Для \( x > 2 \): \[ f'(x) = 3x^2 - 6x > 0 \quad \text{(функция возрастает)} \] 5. **Вычислить значения функции в критических точках:** \[ f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 2 - a = 2 - a \] \[ f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 + 2 - a = 8 - 12 + 2 - a = -2 - a \] 6. **Анализировать поведение функции \( f(x) \) на бесконечности:** - При \( x \to -\infty \): \[ f(x) \to -\infty \] - При \( x \to \infty \): \[ f(x) \to \infty \] 7. **Определить количество корней уравнения \( f(x) = 0 \):** - Функция \( f(x) \) имеет локальный максимум в точке \( x = 0 \) и локальный минимум в точке \( x = 2 \). - На графике функции \( f(x) \) будет два пересечения с осью \( x \), если \( a > 2 \). ### Ответ: Уравнение \( x^3 - 3x^2 + 2 = a \) при \( a > 2 \) имеет два корня.