Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x-3}{x^2-8}\).

Ответ

NaN

Решение № 43585:

Для исследования функции \( y = \frac{x-3}{x^2-8} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции:

Функция \( y = \frac{x-3}{x^2-8} \) не определена в точках, где знаменатель равен нулю. Решим уравнение \( x^2 - 8 = 0 \):

\[ x^2 - 8 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \]

Таким образом, область определения функции: \( x \in (-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, \infty) \).

2. Найти горизонтальные асимптоты:

Для нахождения горизонтальных асимптот рассмотрим пределы функции при \( x \to \pm \infty \):

\[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-3}{x^2-8} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{x-3}{x^2}}{\frac{x^2-8}{x^2}} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{8}{x^2}} = 0 \]

Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \).

3. Найти вертикальные асимптоты:

Вертикальные асимптоты проходят через точки, где знаменатель равен нулю, то есть \( x = \pm 2\sqrt{2} \).

4. Найти производную функции для исследования поведения функции:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{x-3}{x^2-8} \right) \]

Применим правило частного производного:

\[ y' = \frac{(1)(x^2-8) - (x-3)(2x)}{(x^2-8)^2} = \frac{x^2 - 8 - 2x^2 + 6x}{(x^2-8)^2} = \frac{-x^2 + 6x - 8}{(x^2-8)^2} \]

Упростим числитель:

\[ y' = \frac{-(x^2 - 6x + 8)}{(x^2-8)^2} \]
5. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -(x^2 - 6x + 8) = 0 \implies x^2 - 6x + 8 = 0 \]

Решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2} \]

Получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{6 + 2}{2} = 4, \quad x_2 = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]

Проверим, какие из критических точек попадают в область определения функции:

Точка \( x = 2 \) не попадает в область определения, так как \( 2 \) не принадлежит интервалам \( (-\infty, -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}, 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}, \infty) \).

6. Исследовать поведение функции в критических точках и на концах отрезка:

Для точки \( x = 4 \):

\[ y(4) = \frac{4-3}{4^2-8} = \frac{1}{16-8} = \frac{1}{8} \]

Для точки \( x = 2 \) (хотя она не попадает в область определения, но для полноты картины):

\[ y(2) = \frac{2-3}{2^2-8} = \frac{-1}{4-8} = \frac{-1}{-4} = \frac{1}{4} \]
7. Построить график функции:

Для построения графика функции \( y = \frac{x-3}{x^2-8} \) можно использовать графический калькулятор или программное обеспечение, такие как Desmos, GeoGebra или WolframAlpha. График будет иметь вертикальные асимптоты в точках \( x = \pm 2\sqrt{2} \) и горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).

Ответ:
График функции \( y = \frac{x-3}{x^2-8} \) имеет вертикальные асимптоты в точках \( x = \pm 2\sqrt{2} \) и горизонтальную асимптоту \( y = 0 \).