Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x^2-1}{x^2+1}\).

Ответ

NaN

Решение № 43586:

Для исследования функции \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \) и построения ее графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область определения функции.
Функция \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \) определена для всех значений \( x \), кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Однако, знаменатель \( x^2 + 1 \) никогда не равен нулю, так как \( x^2 + 1 \geq 1 \) для всех \( x \). Следовательно, функция определена на всей числовой оси: \( x \in (-\infty, \infty) \).
2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
• Для нахождения точек пересечения с осью \( y \) (ординатами) подставим \( x = 0 \): \[ y = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 1} = \frac{-1}{1} = -1 \] Точка пересечения с осью \( y \): \( (0, -1) \).
• Для нахождения точек пересечения с осью \( x \) (абсциссами) подставим \( y = 0 \): \[ \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = 0 \implies x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Точки пересечения с осью \( x \): \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).
3. Найти производную функции \( y \).
\[ y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \] Используем правило дифференцирования частного: \[ y' = \frac{(x^2 + 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 - 1) - (x^2 - 1) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(x^2 + 1) \cdot 2x - (x^2 - 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 - 1)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x(x^2 + 1 - x^2 + 1)}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x \cdot 2}{(x^2 + 1)^2} \] \[ y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \]
4. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \).
\[ \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \implies 4x = 0 \implies x = 0 \]
5. Исследовать поведение функции на промежутках, определенных критическими точками.
• На промежутке \( (-\infty, 0) \): \[ y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} < 0 \quad \text{(так как \( x < 0 \))} \] Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 0) \).
• На промежутке \( (0, \infty) \): \[ y' = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2} > 0 \quad \text{(так как \( x > 0 \))} \] Функция возрастает на промежутке \( (0, \infty) \).
6. Найти значения функции в критических точках.
\[ y(0) = \frac{0^2 - 1}{0^2 + 1} = -1 \]
7. Построить график функции.
• График функции \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \) имеет горизонтальную асимптоту \( y = 1 \), так как при \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 1 \]
• График пересекает ось \( y \) в точке \( (0, -1) \) и ось \( x \) в точках \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \).
• Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 0) \) и возрастает на промежутке \( (0, \infty) \).

Ответ:
График функции \( y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \) имеет горизонтальную асимптоту \( y = 1 \), пересекает ось \( y \) в точке \( (0, -1) \) и ось \( x \) в точках \( (1, 0) \) и \( (-1, 0) \). Функция убывает на промежутке \( (-\infty, 0) \) и возрастает на промежутке \( (0, \infty) \).