Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\).

Ответ

NaN

Решение № 43594:

Для исследования функции \( y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) и построения её графика необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции.
\[ \sqrt{1 - x^2} \geq 0 \implies 1 - x^2 \geq 0 \implies x^2 \leq 1 \implies -1 \leq x \leq 1 \] Кроме того, \(\sqrt{1 - x^2}\) не должно быть равно нулю, чтобы не было деления на ноль: \[ \sqrt{1 - x^2} \neq 0 \implies 1 - x^2 \neq 0 \implies x \neq \pm 1 \] Таким образом, ОДЗ: \( -1 < x < 1 \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \] Используем правило производной частного: \[ y' = \left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)' = \frac{\sqrt{1 - x^2} \cdot 1 - x \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2} \] Упрощаем выражение: \[ y' = \frac{\sqrt{1 - x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}}{1 - x^2} = \frac{1 - x^2 + x^2}{(1 - x^2) \sqrt{1 - x^2}} = \frac{1}{(1 - x^2) \sqrt{1 - x^2}} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ y' = \frac{1}{(1 - x^2) \sqrt{1 - x^2}} \] Производная никогда не равна нулю в пределах ОДЗ, так как знаменатель никогда не обращается в ноль.
4. Исследовать поведение функции на границах ОДЗ:
\[ \lim_{x \to -1^+} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = -\infty \] \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \infty \]
5. Построить график функции \( y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \):
График функции имеет вертикальные асимптоты в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Функция непрерывна и дифференцируема внутри интервала \( -1 < x < 1 \).
6. Построить таблицу значений для функции \( y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \):
\[ \begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -0.9 & -2.12 \\ -0.5 & -0.89 \\ 0 & 0 \\ 0.5 & 0.89 \\ 0.9 & 2.12 \\ \end{array} \]
7. Построить график функции на основе таблицы значений:
\[ \text{График функции } y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \text{ будет выглядеть как гипербола, проходящая через начало координат и имеющая вертикальные асимптоты в точках } x = -1 \text{ и } x = 1. \]

Ответ:
График функции \( y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \) представляет собой гиперболу с вертикальными асимптотами в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \), проходящую через начало координат.