Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Исследуйте функцию и постройте ее график: \(y=\frac{1}{x^2+1}\).

Ответ

NaN

Решение № 43576:

Для исследования функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) и построения её графика, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить область допустимых значений (ОДЗ) функции:
\[ y = \frac{1}{x^2 + 1} \] Знаменатель \( x^2 + 1 \) всегда положителен для всех действительных значений \( x \), поэтому ОДЗ функции — это вся числовая прямая \( (-\infty, \infty) \).
2. Найти производную функции \( y \):
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + 1} \right) \] Используем правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \):
\[ -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} = 0 \] \[ 2x = 0 \implies x = 0 \] Таким образом, критическая точка \( x = 0 \).
4. Определить поведение функции на промежутках, разделенных критическими точками:
• На промежутке \( (-\infty, 0) \):
\[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} > 0 \quad \text{(поскольку } x < 0 \text{)} \] Функция возрастает.
• На промежутке \( (0, \infty) \):
\[ y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} < 0 \quad \text{(поскольку } x > 0 \text{)} \] Функция убывает.
5. Исследовать поведение функции на бесконечностях:
• При \( x \to -\infty \):
\[ y = \frac{1}{x^2 + 1} \to 0 \]
• При \( x \to \infty \):
\[ y = \frac{1}{x^2 + 1} \to 0 \]
6. Определить значение функции в критической точке:
\[ y(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1 \]
7. Построить график функции:
График функции \( y = \frac{1}{x^2 + 1} \) является колоколообразной кривой, симметричной относительно оси \( y \). Наибольшее значение функции \( y = 1 \) достигается при \( x = 0 \). При \( x \to \pm \infty \) функция стремится к нулю.

Ответ:
Критическая точка: \( x = 0 \)
Наибольшее значение функции: \( y = 1 \)
График функции: колоколообразная кривая, симметричная относительно оси \( y \).