Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Постройте график функции \(y=x^4-2x^2+3\).

Ответ

NaN

Решение № 43596:

Для построения графика функции \( y = x^4 - 2x^2 + 3 \) необходимо выполнить следующие шаги: 1. **Найти производную функции \( y \)**: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x \] 2. **Найти критические точки, решив уравнение \( y' = 0 \)**: \[ 4x^3 - 4x = 0 \] \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \] \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \] 3. **Определить характер критических точек, используя вторую производную**: \[ y' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4 \] Оценим значение второй производной в критических точках: \[ y'(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0 \quad \text{(максимум)} \] \[ y'(1) = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0 \quad \text{(минимум)} \] \[ y'(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 > 0 \quad \text{(минимум)} \] 4. **Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка (если требуется)**: \[ y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3 \] \[ y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] \[ y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] 5. **Построить таблицу значений функции для некоторых точек**: \[ \begin{array}{c|c} x & y \\ \hline -2 & (-2)^4 - 2(-2)^2 + 3 = 16 - 8 + 3 = 11 \\ -1 & 2 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2 \\ 2 & 11 \\ \end{array} \] 6. **Построить график функции**: График функции \( y = x^4 - 2x^2 + 3 \) будет иметь следующие особенности: - Максимум в точке \( x = 0 \) со значением \( y = 3 \). - Минимумы в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \) со значениями \( y = 2 \). График будет иметь форму параболы четвертой степени с двумя минимумами и одним максимумом. Ответ:
График функции \( y = x^4 - 2x^2 + 3 \) имеет максимум в точке \( x = 0 \) со значением \( y = 3 \) и минимумы в точках \( x = 1 \) и \( x = -1 \) со значениями \( y = 2 \).