Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Алгебра и начала анализа, Элементы высшей математики, основы математического анализа, использование производных для построения графика функций,

Задача в следующих классах: 10 класс 11 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

При каких значениях параметра \(a\) уравнение \(x^4-2x^2+3=a\) имеет три корня?

Ответ

NaN

Решение № 43597:

Для нахождения значений параметра \(a\), при которых уравнение \(x^4 - 2x^2 + 3 = a\) имеет три корня, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Переписать уравнение в виде функции:
\[ f(x) = x^4 - 2x^2 + 3 \]
2. Найти производную функции \( f(x) \):
\[ f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1) \]
3. Найти критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):
\[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 0, \quad x = 1, \quad x = -1 \]
4. Вычислить значения функции \( f(x) \) в критических точках:
\[ f(0) = 0^4 - 2 \cdot 0^2 + 3 = 3 \] \[ f(1) = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \] \[ f(-1) = (-1)^4 - 2 \cdot (-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \]
5. Проанализировать поведение функции \( f(x) \) на интервалах, определенных критическими точками:
\[ f(x) \text{ убывает на } (-\infty, -1) \text{ и } (0, 1) \] \[ f(x) \text{ возрастает на } (-1, 0) \text{ и } (1, \infty) \]
6. Определить, при каких значениях параметра \(a\) функция \( f(x) \) имеет три корня:
\[ \text{Для того чтобы функция } f(x) \text{ имела три корня, значение } a \text{ должно совпадать с одним из значений функции в критических точках.} \] \[ \text{Таким образом, } a \text{ должно быть равно } 2. \]
7. Заключение:
\[ \text{Уравнение } x^4 - 2x^2 + 3 = a \text{ имеет три корня при } a = 2. \]

Ответ:
Значение параметра \( a \): \( 2 \)