Решение №40267: Для решения задачи о нахождении координат оснований перпендикуляров, проведенных из точки \(A(3; -5)\) к осям координат, выполним следующие шаги:

1. Определим координаты точки \(A\): \(A(3; -5)\).
2. Проведем перпендикуляр из точки \(A\) к оси абсцисс (оси \(Ox\)).
3. Отметим, что перпендикуляр к оси \(Ox\) будет вертикальной линией, проходящей через точку \(A(3; -5)\).
4. Координата \(x\) основания перпендикуляра на оси \(Ox\) будет такой же, как и у точки \(A\), то есть \(x = 3\).
5. Координата \(y\) основания перпендикуляра на оси \(Ox\) будет равна нулю, так как основание лежит на оси \(Ox\).
6. Таким образом, координаты основания перпендикуляра на оси \(Ox\) будут \((3; 0)\).
7. Проведем перпендикуляр из точки \(A\) к оси ординат (оси \(Oy\)).
8. Отметим, что перпендикуляр к оси \(Oy\) будет горизонтальной линией, проходящей через точку \(A(3; -5)\).
9. Координата \(x\) основания перпендикуляра на оси \(Oy\) будет равна нулю, так как основание лежит на оси \(Oy\).
10. Координата \(y\) основания перпендикуляра на оси \(Oy\) будет такой же, как и у точки \(A\), то есть \(y = -5\).
11. Таким образом, координаты основания перпендикуляра на оси \(Oy\) будут \((0; -5)\).

Ответ: NaN

Решение №40268: Для решения задачи определения координатной четверти, в которой лежит точка \(A(x; y)\), выполним следующие шаги: ### а) \(х = -4\), \(у = -9\)

1. Определим знак координаты \(x\): \[ x = -4 \] Поскольку \(x < 0\), точка лежит слева от оси ординат.
2. Определим знак координаты \(y\): \[ y = -9 \] Поскольку \(y < 0\), точка лежит ниже оси абсцисс.
3. Определим координатную четверть: \[ \text{Точка } A(-4; -9) \text{ лежит в третьей координатной четверти.} \]

1. Определим знак координаты \(x\): \[ x > 0 \] Поскольку \(x > 0\), точка лежит справа от оси ординат.
2. Определим знак координаты \(y\): \[ y < 0 \] Поскольку \(y < 0\), точка лежит ниже оси абсцисс.
3. Определим координатную четверть: \[ \text{Точка } A(x; y) \text{ лежит в четвертой координатной четверти.} \]

1. Определим знак координаты \(x\): \[ \text{Точка лежит слева от оси ординат, следовательно, } x < 0. \]
2. Определим знак координаты \(y\): \[ \text{Точка лежит выше оси абсцисс, следовательно, } y > 0. \]
3. Определим координатную четверть: \[ \text{Точка } A(x; y) \text{ лежит во второй координатной четверти.} \]

Ответ: NaN

Решение №40269: Для решения задачи определения, какие из координатных осей пересекает отрезок \(CD\), выполним следующие шаги для каждого случая: ### а) \(С(3; -2)\), \(D(8; 1)\)

1. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Ox\). Ось \(Ox\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки ординат (y-координат).
2. Проверим знаки ординат точек \(C\) и \(D\): \[ C(3; -2) \quad \text{и} \quad D(8; 1) \] Знаки ординат разные: \(-2\) и \(1\).
3. Следовательно, отрезок \(CD\) пересекает ось \(Ox\).
4. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Oy\). Ось \(Oy\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки абсцисс (x-координат).
5. Проверим знаки абсцисс точек \(C\) и \(D\): \[ C(3; -2) \quad \text{и} \quad D(8; 1) \] Знаки абсцисс одинаковые: \(3\) и \(8\).
6. Следовательно, отрезок \(CD\) не пересекает ось \(Oy\).

1. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Ox\). Ось \(Ox\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки ординат (y-координат).
2. Проверим знаки ординат точек \(C\) и \(D\): \[ C(-4; -5) \quad \text{и} \quad D(2; -3) \] Знаки ординат одинаковые: \(-5\) и \(-3\).
3. Следовательно, отрезок \(CD\) не пересекает ось \(Ox\).
4. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Oy\). Ось \(Oy\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки абсцисс (x-координат).
5. Проверим знаки абсцисс точек \(C\) и \(D\): \[ C(-4; -5) \quad \text{и} \quad D(2; -3) \] Знаки абсцисс разные: \(-4\) и \(2\).
6. Следовательно, отрезок \(CD\) пересекает ось \(Oy\).

1. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Ox\). Ось \(Ox\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки ординат (y-координат).
2. Проверим знаки ординат точек \(C\) и \(D\): \[ C(1; -6) \quad \text{и} \quad D(-7; 2) \] Знаки ординат разные: \(-6\) и \(2\).
3. Следовательно, отрезок \(CD\) пересекает ось \(Ox\).
4. Определим, пересекает ли отрезок \(CD\) ось \(Oy\). Ось \(Oy\) пересекается, если у точек \(C\) и \(D\) разные знаки абсцисс (x-координат).
5. Проверим знаки абсцисс точек \(C\) и \(D\): \[ C(1; -6) \quad \text{и} \quad D(-7; 2) \] Знаки абсцисс разные: \(1\) и \(-7\).
6. Следовательно, отрезок \(CD\) пересекает ось \(Oy\).

Ответ: NaN

Решение №40270: Для решения задачи о нахождении абсциссы точки \(А\), если середина отрезка \(АВ\) лежит на оси ординат и абсцисса точки \(В\) равна 12, выполним следующие шаги:

1. Запишем координаты точек \(А\) и \(В\): \[ A(x_A, y_A), \quad B(12, y_B) \] Где \(x_A\) — абсцисса точки \(А\), \(y_A\) — ордината точки \(А\), \(y_B\) — ордината точки \(В\).
2. Середина отрезка \(АВ\) лежит на оси ординат, следовательно, её абсцисса равна 0. Найдём координаты середины отрезка \(АВ\): \[ \text{Середина отрезка } AB = \left( \frac{x_A + 12}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) \]
3. Поскольку середина отрезка лежит на оси ординат, её абсцисса равна 0: \[ \frac{x_A + 12}{2} = 0 \]
4. Решим уравнение для нахождения \(x_A\): \[ x_A + 12 = 0 \implies x_A = -12 \]

Ответ: NaN

Решение №40271: Для решения задачи выполним следующие шаги: ### Часть а) 1. **Запишем координаты точек:** - Точка \(A(x_1; 3)\) - Точка \(C(x_2; 3)\) 2. **Определим, что точка \(C\) является серединой отрезка \(AB\):** - Поскольку \(C\) - середина отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) должны быть средними между координатами точек \(A\) и \(B\). 3. **Найдем координаты точки \(B\):** - Пусть координаты точки \(B\) будут \((x_3; y_3)\). - Поскольку \(C\) - середина отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) можно выразить через координаты точек \(A\) и \(B\): \[ x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2} \] \[ 3 = \frac{3 + y_3}{2} \] 4. **Решим уравнения для координат точки \(B\):** - Для абсциссы: \[ x_2 = \frac{x_1 + x_3}{2} \implies x_3 = 2x_2 - x_1 \] - Для ординаты: \[ 3 = \frac{3 + y_3}{2} \implies 6 = 3 + y_3 \implies y_3 = 3 \] 5. **Вывод:** - Ордината точки \(B\) равна 3. - Отрезок \(AB\) параллелен оси абсцисс, так как ординаты точек \(A\), \(C\) и \(B\) одинаковы. ### Часть б) 1. **Запишем координаты точек:** - Точка \(C(-1; y_1)\) - Точка \(B(-1; y_2)\) 2. **Определим, что точка \(C\) является серединой отрезка \(AB\):** - Поскольку \(C\) - середина отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) должны быть средними между координатами точек \(A\) и \(B\). 3. **Найдем координаты точки \(A\):** - Пусть координаты точки \(A\) будут \((x_4; y_4)\). - Поскольку \(C\) - середина отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) можно выразить через координаты точек \(A\) и \(B\): \[ -1 = \frac{x_4 - 1}{2} \] \[ y_1 = \frac{y_4 + y_2}{2} \] 4. **Решим уравнения для координат точки \(A\):** - Для абсциссы: \[ -1 = \frac{x_4 - 1}{2} \implies -2 = x_4 - 1 \implies x_4 = -1 \] - Для ординаты: \[ y_1 = \frac{y_4 + y_2}{2} \implies y_4 = 2y_1 - y_2 \] 5. **Вывод:** - Абсцисса точки \(A\) равна -1. - Отрезок \(AB\) параллелен оси ординат, так как абсциссы точек \(A\), \(C\) и \(B\) одинаковы. Таким образом, решение задачи:

1. Ордината точки \(B\) равна 3.
2. Абсцисса точки \(A\) равна -1.
3. Отрезок \(AB\) параллелен оси абсцисс в первом случае и оси ординат во втором случае.

Ответ: NaN

Решение №40272: Для решения задачи о том, могут ли абсциссы или ординаты точек \(A\) и \(B\) отличаться на заданные значения, выполним следующие шаги: ### Часть а) Абсциссы точек \(A\) и \(B\) отличаются на 7

1. Запишем координаты точек \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\).
2. Длина отрезка \(AB\) равна 5, поэтому используем формулу расстояния между двумя точками: \[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 5 \]
3. Если абсциссы точек \(A\) и \(B\) отличаются на 7, то: \[ |x_2 - x_1| = 7 \]
4. Подставим это значение в формулу расстояния: \[ \sqrt{7^2 + (y_2 - y_1)^2} = 5 \]
5. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ 7^2 + (y_2 - y_1)^2 = 5^2 \]
6. Упростим уравнение: \[ 49 + (y_2 - y_1)^2 = 25 \]
7. Вычтем 49 из обеих частей уравнения: \[ (y_2 - y_1)^2 = -24 \]
8. Поскольку квадрат числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет решений. Следовательно, абсциссы точек \(A\) и \(B\) не могут отличаться на 7.

1. Запишем координаты точек \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\).
2. Длина отрезка \(AB\) равна 5, поэтому используем формулу расстояния между двумя точками: \[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = 5 \]
3. Если ординаты точек \(A\) и \(B\) отличаются на 5, то: \[ |y_2 - y_1| = 5 \]
4. Подставим это значение в формулу расстояния: \[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + 5^2} = 5 \]
5. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (x_2 - x_1)^2 + 25 = 25 \]
6. Упростим уравнение: \[ (x_2 - x_1)^2 = 0 \]
7. Следовательно: \[ x_2 - x_1 = 0 \] Это означает, что \(x_2 = x_1\), то есть абсциссы точек \(A\) и \(B\) равны.
8. Таким образом, ординаты точек \(A\) и \(B\) могут отличаться на 5, если абсциссы точек \(A\) и \(B\) равны.

Ответ: NaN

Решение №40273: Для решения задачи по изображению геометрического места точек \(M(x, y)\), удовлетворяющих условиям, выполним следующие шаги:

1. Рассмотрим условие \(x \geq -3\):
   • Это условие означает, что все точки будут находиться в правой полуплоскости, включая линию \(x = -3\).
   • На координатной плоскости это будет выглядеть как область, включающая и лежащую справа от вертикальной линии \(x = -3\).
2. Рассмотрим условие \(y \leq 1\):
   • Это условие означает, что все точки будут находиться в нижней полуплоскости, включая линию \(y = 1\).
   • На координатной плоскости это будет выглядеть как область, включающая и лежащую ниже горизонтальной линии \(y = 1\).
3. Рассмотрим систему условий: \[ \begin{cases} x = y, \\ |x| < 2. \end{cases} \]
   • Уравнение \(x = y\) представляет собой биссектрису первого и третьего квадрантов.
   • Условие \(|x| < 2\) означает, что \(x\) находится в интервале \((-2, 2)\).
   • Следовательно, \(y\) также находится в интервале \((-2, 2)\).
   • На координатной плоскости это будет выглядеть как отрезок биссектрисы от точки \((-2, -2)\) до точки \((2, 2)\), не включая эти точки.

Ответ: NaN

Решение №40274: Для решения задачи Через точку \(С(-3; 4)\) проведите прямые, параллельные осям координат. Опишите с помощью неравенств условия, которым удовлетворяют все внутренние точки прямоугольника, образованного этими прямыми и осями координат выполним следующие шаги:

1. Определим координаты точки \(C\): \[ C(-3; 4) \]
2. Проведем прямую, параллельную оси \(OX\), через точку \(C\). Эта прямая будет иметь уравнение: \[ y = 4 \]
3. Проведем прямую, параллельную оси \(OY\), через точку \(C\). Эта прямая будет иметь уравнение: \[ x = -3 \]
4. Определим границы прямоугольника, образованного этими прямыми и осями координат:
   • Горизонтальная прямая \(y = 4\) проходит выше оси \(OX\).
   • Вертикальная прямая \(x = -3\) проходит левее оси \(OY\).
5. Определим неравенства, которым удовлетворяют все внутренние точки прямоугольника:
   • По горизонтали: \(0 \leq y \leq 4\)
   • По вертикали: \(-3 \leq x \leq 0\)
6. Запишем систему неравенств, описывающую внутренние точки прямоугольника: \[ \begin{cases} 0 \leq y \leq 4 \\ -3 \leq x \leq 0 \end{cases} \]

Ответ: NaN

Решение №40275: Для нахождения координат середины отрезка \(AB\) нужно использовать формулы для координат середины отрезка, которые задаются точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\): \[ x_M = \frac{x_1 + x_2}{2}, \quad y_M = \frac{y_1 + y_2}{2} \] где \(M\) — середина отрезка \(AB\). Рассмотрим каждый случай отдельно: ### а) \(А(-12; -3)\), \(В(-8; 1)\)

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(B\): \[ A(-12, -3), \quad B(-8, 1) \]
2. Подставим координаты в формулы для нахождения середины отрезка: \[ x_M = \frac{-12 + (-8)}{2}, \quad y_M = \frac{-3 + 1}{2} \]
3. Выполним арифметические операции: \[ x_M = \frac{-20}{2} = -10, \quad y_M = \frac{-2}{2} = -1 \]
4. Запишем координаты середины отрезка \(AB\): \[ M(-10, -1) \]

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(B\): \[ A(4, -11), \quad B(-4, 0) \]
2. Подставим координаты в формулы для нахождения середины отрезка: \[ x_M = \frac{4 + (-4)}{2}, \quad y_M = \frac{-11 + 0}{2} \]
3. Выполним арифметические операции: \[ x_M = \frac{0}{2} = 0, \quad y_M = \frac{-11}{2} = -5.5 \]
4. Запишем координаты середины отрезка \(AB\): \[ M(0, -5.5) \]

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(B\): \[ A(-2, 9), \quad B(-2, -7) \]
2. Подставим координаты в формулы для нахождения середины отрезка: \[ x_M = \frac{-2 + (-2)}{2}, \quad y_M = \frac{9 + (-7)}{2} \]
3. Выполним арифметические операции: \[ x_M = \frac{-4}{2} = -2, \quad y_M = \frac{2}{2} = 1 \]
4. Запишем координаты середины отрезка \(AB\): \[ M(-2, 1) \]

Ответ: NaN

Решение №40276: ### а) Найдите координаты точки \(В\), если \(А(2; -3)\), \(С(0,5; 1)\):

1. Запишем координаты точек \(A\) и \(C\): \[ A(2; -3), \quad C(0,5; 1) \]
2. Поскольку точка \(C\) является серединой отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) находятся как среднее арифметическое координат точек \(A\) и \(B\): \[ C\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]
3. Подставим координаты точек \(A\) и \(C\) в формулу: \[ 0,5 = \frac{2 + x_B}{2}, \quad 1 = \frac{-3 + y_B}{2} \]
4. Решим уравнение для \(x_B\): \[ 0,5 = \frac{2 + x_B}{2} \implies 1 = 2 + x_B \implies x_B = -1 \]
5. Решим уравнение для \(y_B\): \[ 1 = \frac{-3 + y_B}{2} \implies 2 = -3 + y_B \implies y_B = 5 \]
6. Таким образом, координаты точки \(B\) равны: \[ B(-1; 5) \]

1. Запишем координаты точек \(C\) и \(B\): \[ C(0; -1), \quad B(3; -3) \]
2. Поскольку точка \(C\) является серединой отрезка \(AB\), координаты точки \(C\) находятся как среднее арифметическое координат точек \(A\) и \(B\): \[ C\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]
3. Подставим координаты точек \(C\) и \(B\) в формулу: \[ 0 = \frac{x_A + 3}{2}, \quad -1 = \frac{y_A - 3}{2} \]
4. Решим уравнение для \(x_A\): \[ 0 = \frac{x_A + 3}{2} \implies 0 = x_A + 3 \implies x_A = -3 \]
5. Решим уравнение для \(y_A\): \[ -1 = \frac{y_A - 3}{2} \implies -2 = y_A - 3 \implies y_A = 1 \]
6. Таким образом, координаты точки \(A\) равны: \[ A(-3; 1) \]

Ответ: а) \(В(-1; 5)\); б) \(А(-3; 1)\).

Решение №40277: Для решения задачи найдем координаты точек \(E\) и \(D\) в соответствии с условиями задачи. ### Часть а) Найти координаты точки \(E\), если \(C(18; -2)\), \(D(6; 4)\):

1. Запишем координаты точек \(C\) и \(D\): \[ C(18; -2), \quad D(6; 4) \]
2. Точка \(E\) является серединой отрезка \(CD\). Для нахождения координат точки \(E\) воспользуемся формулами для нахождения координат середины отрезка: \[ E_x = \frac{C_x + D_x}{2}, \quad E_y = \frac{C_y + D_y}{2} \]
3. Подставим координаты точек \(C\) и \(D\) в формулы: \[ E_x = \frac{18 + 6}{2} = \frac{24}{2} = 12 \] \[ E_y = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
4. Таким образом, координаты точки \(E\) будут: \[ E(12; 1) \]

1. Запишем координаты точек \(C\) и \(E\): \[ C(-5; 21), \quad E(0; 1) \]
2. Точка \(E\) является серединой отрезка \(CD\). Для нахождения координат точки \(D\) воспользуемся формулами для нахождения координат середины отрезка: \[ E_x = \frac{C_x + D_x}{2}, \quad E_y = \frac{C_y + D_y}{2} \]
3. Выразим координаты точки \(D\) через координаты точек \(C\) и \(E\): \[ D_x = 2E_x - C_x, \quad D_y = 2E_y - C_y \]
4. Подставим координаты точек \(C\) и \(E\) в формулы: \[ D_x = 2 \cdot 0 - (-5) = 5 \] \[ D_y = 2 \cdot 1 - 21 = 2 - 21 = -19 \]
5. Таким образом, координаты точки \(D\) будут: \[ D(5; -19) \]

Ответ: а) \(Е(12; 1)\); б) \(D(5; -19)\).

Решение №40278: ### а) Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма \(ABCD\), если \(А(2; 6)\), \(В(4; 7)\), \(С(8; 10)\).

1. Запишем координаты известных вершин: \[ A(2, 6), \quad B(4, 7), \quad C(8, 10) \]
2. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен вектору \(\overrightarrow{DC}\).
3. Вычислим вектор \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 2, 7 - 6) = (2, 1) \]
4. Вычислим вектор \(\overrightarrow{DC}\): \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (8 - x_D, 10 - y_D) \]
5. Приравняем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\): \[ (2, 1) = (8 - x_D, 10 - y_D) \]
6. Решим систему уравнений: \[ 8 - x_D = 2 \quad \text{и} \quad 10 - y_D = 1 \]
7. Найдем координаты вершины \(D\): \[ x_D = 8 - 2 = 6 \] \[ y_D = 10 - 1 = 9 \]
8. Таким образом, координаты вершины \(D\) равны: \[ D(6, 9) \]

1. Запишем координаты известных вершин: \[ B(-1, 4), \quad C(3, 5), \quad D(1, 3) \]
2. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, вектор \(\overrightarrow{BC}\) равен вектору \(\overrightarrow{AD}\).
3. Вычислим вектор \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-1), 5 - 4) = (4, 1) \]
4. Вычислим вектор \(\overrightarrow{AD}\): \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (1 - x_A, 3 - y_A) \]
5. Приравняем векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\): \[ (4, 1) = (1 - x_A, 3 - y_A) \]
6. Решим систему уравнений: \[ 1 - x_A = 4 \quad \text{и} \quad 3 - y_A = 1 \]
7. Найдем координаты вершины \(A\): \[ x_A = 1 - 4 = -3 \] \[ y_A = 3 - 1 = 2 \]
8. Таким образом, координаты вершины \(A\) равны: \[ A(-3, 2) \]

Ответ: а) \(D(6; 9)\); б) \(А(-3; 2)\).

Решение №40279: Для доказательства того, что четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны равны и параллельны.

1. Запишем координаты точек: \[ A(-4, 0), \quad B(-2, -2), \quad C(0, -6), \quad D(-2, -4) \]
2. Найдем векторы сторон четырехугольника:
   • Вектор \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-2 - (-4), -2 - 0) = (2, -2) \]
   • Вектор \(\overrightarrow{DC}\): \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (0 - (-2), -6 - (-4)) = (2, -2) \]
   • Вектор \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (0 - (-2), -6 - (-2)) = (2, -4) \]
   • Вектор \(\overrightarrow{DA}\): \[ \overrightarrow{DA} = A - D = (-4 - (-2), 0 - (-4)) = (-2, 4) \]
3. Сравним векторы противоположных сторон:
   • Векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\): \[ \overrightarrow{AB} = (2, -2), \quad \overrightarrow{DC} = (2, -2) \] Они равны.
   • Векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{DA}\): \[ \overrightarrow{BC} = (2, -4), \quad \overrightarrow{DA} = (-2, 4) \] Они противоположны, так как \(\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}\).
4. Сделаем вывод: Поскольку противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, четырехугольник \(ABCD\) является параллелограммом.

Ответ: NaN

Решение №40280: Для нахождения длины отрезка \(AB\) между точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) используется формула расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Рассмотрим каждый случай отдельно. ### а) \(A(-3; 8)\), \(B(5; 2)\) 1. Запишем координаты точек: \[ A(-3, 8), \quad B(5, 2) \] 2. Подставим координаты в формулу: \[ AB = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (2 - 8)^2} \] 3. Выполним вычисления внутри скобок: \[ AB = \sqrt{(5 + 3)^2 + (2 - 8)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} \] 4. Возведём числа в квадрат: \[ AB = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} \] 5. Извлечём корень: \[ AB = 10 \] ### б) \(A(2; -1)\), \(B(-7; 0)\) 1. Запишем координаты точек: \[ A(2, -1), \quad B(-7, 0) \] 2. Подставим координаты в формулу: \[ AB = \sqrt{(-7 - 2)^2 + (0 - (-1))^2} \] 3. Выполним вычисления внутри скобок: \[ AB = \sqrt{(-7 - 2)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{(-9)^2 + 1^2} \] 4. Возведём числа в квадрат: \[ AB = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82} \] 5. Извлечём корень: \[ AB = \sqrt{82} \] ### в) \(A(5; 0)\), \(B(0; -12)\) 1. Запишем координаты точек: \[ A(5, 0), \quad B(0, -12) \] 2. Подставим координаты в формулу: \[ AB = \sqrt{(0 - 5)^2 + (-12 - 0)^2} \] 3. Выполним вычисления внутри скобок: \[ AB = \sqrt{(-5)^2 + (-12)^2} \] 4. Возведём числа в квадрат: \[ AB = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} \] 5. Извлечём корень: \[ AB = 13 \] ### Ответы: а) \(AB = 10\) б) \(AB = \sqrt{82}\) в) \(AB = 13\)

Ответ: а) 10; б) \(\sqrt{82}\); в) 13.

Решение №40281: ### а) Найдите \(x\), если расстояние между точками \(M(2; 1)\) и \(N(x; -2)\) равно 5.

1. Используем формулу расстояния между двумя точками: \[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
2. Подставим координаты точек \(M(2; 1)\) и \(N(x; -2)\): \[ \sqrt{(x - 2)^2 + (-2 - 1)^2} = 5 \]
3. Упростим выражение внутри корня: \[ \sqrt{(x - 2)^2 + (-3)^2} = 5 \]
4. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (x - 2)^2 + 9 = 25 \]
5. Упростим уравнение: \[ (x - 2)^2 = 16 \]
6. Решим квадратное уравнение: \[ x - 2 = \pm 4 \]
7. Найдем два возможных значения \(x\): \[ x - 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 6 \] \[ x - 2 = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -2 \]

1. Используем формулу расстояния между двумя точками: \[ \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
2. Подставим координаты точек \(M(x; 0)\) и \(N(2; -1)\): \[ \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - (-1))^2} = 1 \]
3. Упростим выражение внутри корня: \[ \sqrt{(x - 2)^2 + 1} = 1 \]
4. Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ (x - 2)^2 + 1 = 1 \]
5. Упростим уравнение: \[ (x - 2)^2 = 0 \]
6. Решим уравнение: \[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]

Ответ: а) -2 или 6; б) 2.

Решение №40282: Для нахождения периметра треугольника \(ABC\) с вершинами \(A(-1; 2)\), \(B(2; 6)\), \(С(5; 2)\) выполним следующие шаги:

1. Найдем длины сторон треугольника \(AB\), \(BC\) и \(AC\) с использованием формулы расстояния между двумя точками на плоскости: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
2. Найдем длину стороны \(AB\): \[ AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (6 - 2)^2} \] \[ AB = \sqrt{(2 + 1)^2 + (6 - 2)^2} \] \[ AB = \sqrt{3^2 + 4^2} \] \[ AB = \sqrt{9 + 16} \] \[ AB = \sqrt{25} \] \[ AB = 5 \]
3. Найдем длину стороны \(BC\): \[ BC = \sqrt{(5 - 2)^2 + (2 - 6)^2} \] \[ BC = \sqrt{3^2 + (-4)^2} \] \[ BC = \sqrt{9 + 16} \] \[ BC = \sqrt{25} \] \[ BC = 5 \]
4. Найдем длину стороны \(AC\): \[ AC = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (2 - 2)^2} \] \[ AC = \sqrt{(5 + 1)^2 + 0^2} \] \[ AC = \sqrt{6^2} \] \[ AC = \sqrt{36} \] \[ AC = 6 \]
5. Найдем периметр треугольника \(ABC\): \[ P = AB + BC + AC \] \[ P = 5 + 5 + 6 \] \[ P = 16 \]

Ответ: 16.

Решение №40283: Для доказательства того, что углы \(A\) и \(C\) в треугольнике с вершинами \(A(-6; 5)\), \(B(2; -10)\), \(C(-13; -18)\) равны, можно воспользоваться теоремой о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними.

1. Запишем координаты вершин треугольника: \[ A(-6; 5), \quad B(2; -10), \quad C(-13; -18) \]
2. Вычислим длины сторон треугольника. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
3. Вычислим длину стороны \(AB\): \[ AB = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-10 - 5)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (-10 - 5)^2} = \sqrt{8^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \]
4. Вычислим длину стороны \(BC\): \[ BC = \sqrt{(2 - (-13))^2 + (-10 - (-18))^2} = \sqrt{(2 + 13)^2 + (-10 + 18)^2} = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17 \]
5. Вычислим длину стороны \(AC\): \[ AC = \sqrt{(-13 - (-6))^2 + (-18 - 5)^2} = \sqrt{(-13 + 6)^2 + (-18 - 5)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-23)^2} = \sqrt{49 + 529} = \sqrt{578} \]
6. Заметим, что стороны \(AB\) и \(BC\) равны: \[ AB = BC = 17 \]
7. Поскольку \(AB = BC\), треугольник \(ABC\) является равнобедренным, где \(AB\) и \(BC\) — боковые стороны, а \(AC\) — основание.
8. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, углы \(A\) и \(C\) равны: \[ \angle A = \angle C \]

Ответ: NaN

Решение №40284: Для доказательства того, что треугольник с вершинами \(A(1; 0)\), \(B(2; \sqrt{3})\), \(C(3; 0)\) является равносторонним, выполним следующие шаги:

1. Найдем длины всех сторон треугольника \(AB\), \(BC\) и \(AC\).
2. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
3. Найдем длину стороны \(AB\): \[ AB = \sqrt{(2 - 1)^2 + (\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]
4. Найдем длину стороны \(BC\): \[ BC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (0 - \sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \]
5. Найдем длину стороны \(AC\): \[ AC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{4} = 2 \]
6. Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника: \(AB = 2\), \(BC = 2\), \(AC = 2\).
7. Поскольку все стороны треугольника равны, треугольник \(ABC\) является равносторонним.

Ответ: NaN

Решение №40285: Для решения задачи найдем координаты точки \(B\), чтобы отрезок \(AB\) был параллелен одной из координатных осей, а его середина лежала на оси абсцисс или ординат. ### а) Середина отрезка \(AB\) лежит на оси абсцисс

1. Запишем координаты точки \(A\): \(A(-4; 3)\).
2. Определим координаты середины отрезка \(AB\). Пусть \(B(x_B; y_B)\). Середина отрезка \(AB\) имеет координаты: \[ \left( \frac{-4 + x_B}{2}; \frac{3 + y_B}{2} \right) \]
3. Так как середина лежит на оси абсцисс, её ордината равна 0: \[ \frac{3 + y_B}{2} = 0 \]
4. Решим уравнение для \(y_B\): \[ 3 + y_B = 0 \implies y_B = -3 \]
5. Так как отрезок \(AB\) параллелен оси ординат, абсцисса точки \(B\) равна абсциссе точки \(A\): \[ x_B = -4 \]
6. Таким образом, координаты точки \(B\) будут: \[ B(-4; -3) \]

1. Запишем координаты точки \(A\): \(A(-4; 3)\).
2. Определим координаты середины отрезка \(AB\). Пусть \(B(x_B; y_B)\). Середина отрезка \(AB\) имеет координаты: \[ \left( \frac{-4 + x_B}{2}; \frac{3 + y_B}{2} \right) \]
3. Так как середина лежит на оси ординат, её абсцисса равна 0: \[ \frac{-4 + x_B}{2} = 0 \]
4. Решим уравнение для \(x_B\): \[ -4 + x_B = 0 \implies x_B = 4 \]
5. Так как отрезок \(AB\) параллелен оси абсцисс, ордината точки \(B\) равна ординате точки \(A\): \[ y_B = 3 \]
6. Таким образом, координаты точки \(B\) будут: \[ B(4; 3) \]

Ответ: а) \(В(-4; -3)\); б) \(В(4; 3)\).

Решение №40286: Для решения задачи о нахождении координат точки \(C(x; y)\), которая является серединой отрезка с концами в точках \(A(-y; -4)\) и \(B(3; x)\), выполним следующие шаги:

1. Используем формулу координат середины отрезка: \[ C\left( \frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] где \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\).
2. Подставим координаты точек \(A\) и \(B\) в формулу: \[ C\left( \frac{-y + 3}{2}; \frac{-4 + x}{2} \right) \]
3. Запишем уравнения для координат \(x\) и \(y\) точки \(C\): \[ x = \frac{-y + 3}{2} \] \[ y = \frac{-4 + x}{2} \]
4. Решим первое уравнение относительно \(x\): \[ x = \frac{-y + 3}{2} \]
5. Решим второе уравнение относительно \(y\): \[ y = \frac{-4 + x}{2} \]
6. Подставим выражение для \(x\) из первого уравнения во второе уравнение: \[ y = \frac{-4 + \left(\frac{-y + 3}{2}\right)}{2} \]
7. Упростим выражение: \[ y = \frac{-4 + \frac{-y + 3}{2}}{2} \] \[ y = \frac{-4 + \frac{-y + 3}{2}}{2} \] \[ y = \frac{-4 + \frac{-y + 3}{2}}{2} \] \[ y = \frac{-4 + \frac{-y + 3}{2}}{2} \] \[ y = \frac{-8 + (-y + 3)}{4} \] \[ y = \frac{-8 - y + 3}{4} \] \[ y = \frac{-5 - y}{4} \]
8. Решим полученное уравнение относительно \(y\): \[ 4y = -5 - y \] \[ 4y + y = -5 \] \[ 5y = -5 \] \[ y = -1 \]
9. Подставим \(y = -1\) в первое уравнение для нахождения \(x\): \[ x = \frac{-(-1) + 3}{2} \] \[ x = \frac{1 + 3}{2} \] \[ x = \frac{4}{2} \] \[ x = 2 \]

Ответ: \(х = 2\), \(у = -1\).

Решение №40287: Для решения задачи найдем координаты точки \(D\) в двух случаях: ### а) \(A(-3; 3)\), \(B(5; -1)\)

1. Найдем координаты точки \(C\), которая является серединой отрезка \(AB\). Используем формулу для нахождения координат середины отрезка: \[ C\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \] Подставим координаты точек \(A\) и \(B\): \[ C\left(\frac{-3 + 5}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = C\left(\frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right) = C(1, 1) \]
2. Теперь найдем координаты точки \(D\), которая является серединой отрезка \(BC\). Используем ту же формулу: \[ D\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) \] Подставим координаты точек \(B\) и \(C\): \[ D\left(\frac{5 + 1}{2}, \frac{-1 + 1}{2}\right) = D\left(\frac{6}{2}, \frac{0}{2}\right) = D(3, 0) \]

1. Найдем координаты точки \(D\), которая является серединой отрезка \(AC\). Используем формулу для нахождения координат середины отрезка: \[ D\left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) \] Подставим координаты точек \(A\) и \(C\): \[ D\left(\frac{-2 + 2}{2}, \frac{-1 + 3}{2}\right) = D\left(\frac{0}{2}, \frac{2}{2}\right) = D(0, 1) \]

Ответ: а) \(D(3; 0)\); б) \(D(4; 5)\).

Решение №40288: Для решения задачи найдем координаты точки \(D\), если известно, что \(A(5; 2)\), \(B(3; 1)\) и \(AB = BC = CD\).

1. Определим вектор \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y) = (3 - 5, 1 - 2) = (-2, -1) \]
2. Так как \(AB = BC = CD\), то векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\) равны вектору \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CD} = (-2, -1) \]
3. Найдем координаты точки \(C\). Для этого к координатам точки \(B\) прибавим вектор \(\overrightarrow{BC}\): \[ C = (B_x + \overrightarrow{BC}_x, B_y + \overrightarrow{BC}_y) = (3 - 2, 1 - 1) = (1, 0) \]
4. Найдем координаты точки \(D\). Для этого к координатам точки \(C\) прибавим вектор \(\overrightarrow{CD}\): \[ D = (C_x + \overrightarrow{CD}_x, C_y + \overrightarrow{CD}_y) = (1 - 2, 0 - 1) = (-1, -1) \]

Ответ: \(D(-1; -1)\).

Решение №40289: Для доказательства того, что точки \(K(5; -3)\), \(M(2; 1)\) и \(N(-1; 5)\) лежат на одной прямой, используем свойство, что точки лежат на одной прямой, если расстояние между точками \(K\) и \(M\) равно сумме расстояний между точками \(K\) и \(N\) и между точками \(N\) и \(M\).

1. Найдем расстояние между точками \(K(5; -3)\) и \(M(2; 1)\) по формуле расстояния между двумя точками: \[ KM = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
2. Найдем расстояние между точками \(K(5; -3)\) и \(N(-1; 5)\): \[ KN = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
3. Найдем расстояние между точками \(M(2; 1)\) и \(N(-1; 5)\): \[ MN = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
4. Проверим, равно ли расстояние \(KM\) сумме расстояний \(KN\) и \(MN\): \[ KM = KN + MN \implies 5 = 10 + 5 \implies 5 \neq 15 \]
5. Проверим, равно ли расстояние \(KN\) сумме расстояний \(KM\) и \(MN\): \[ KN = KM + MN \implies 10 = 5 + 5 \implies 10 = 10 \]
6. Так как \(KN = KM + MN\), точка \(M\) лежит между точками \(K\) и \(N\).

Ответ: \(M\).

Решение №40290: Для решения задачи найдем точку, равноудаленную от точек \((2; 3)\) и \((6; -1)\) и лежащую на осях координат. ### Часть а): Точка на оси абсцисс

1. Запишем координаты точек \(A(2, 3)\) и \(B(6, -1)\).
2. Пусть точка \(C(x, 0)\) лежит на оси абсцисс и равноудалена от точек \(A\) и \(B\).
3. Расстояние от точки \(C\) до точки \(A\) равно: \[ CA = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} \]
4. Расстояние от точки \(C\) до точки \(B\) равно: \[ CB = \sqrt{(x - 6)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + 1} \]
5. Поскольку \(C\) равноудалена от \(A\) и \(B\), то: \[ \sqrt{(x - 2)^2 + 9} = \sqrt{(x - 6)^2 + 1} \]
6. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: \[ (x - 2)^2 + 9 = (x - 6)^2 + 1 \]
7. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ x^2 - 4x + 4 + 9 = x^2 - 12x + 36 + 1 \] \[ x^2 - 4x + 13 = x^2 - 12x + 37 \]
8. Отнимем \(x^2\) от обеих частей уравнения: \[ -4x + 13 = -12x + 37 \]
9. Решим линейное уравнение: \[ 8x = 24 \] \[ x = 3 \]
10. Таким образом, точка \(C(3, 0)\) равноудалена от точек \(A\) и \(B\) и лежит на оси абсцисс.

1. Пусть точка \(D(0, y)\) лежит на оси ординат и равноудалена от точек \(A\) и \(B\).
2. Расстояние от точки \(D\) до точки \(A\) равно: \[ DA = \sqrt{(0 - 2)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{4 + (y - 3)^2} \]
3. Расстояние от точки \(D\) до точки \(B\) равно: \[ DB = \sqrt{(0 - 6)^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{36 + (y + 1)^2} \]
4. Поскольку \(D\) равноудалена от \(A\) и \(B\), то: \[ \sqrt{4 + (y - 3)^2} = \sqrt{36 + (y + 1)^2} \]
5. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: \[ 4 + (y - 3)^2 = 36 + (y + 1)^2 \]
6. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 4 + y^2 - 6y + 9 = 36 + y^2 + 2y + 1 \] \[ y^2 - 6y + 13 = y^2 + 2y + 37 \]
7. Отнимем \(y^2\) от обеих частей уравнения: \[ -6y + 13 = 2y + 37 \]
8. Решим линейное уравнение: \[ -8y = 24 \] \[ y = -3 \]
9. Таким образом, точка \(D(0, -3)\) равноудалена от точек \(A\) и \(B\) и лежит на оси ординат.

Ответ: а) \((3; 0)\); б) \((0; -3)\).

Решение №40291: Для доказательства того, что треугольник с вершинами в точках \(A(4; 1)\), \(B(6; 2)\), \(C(8; -2)\) является прямоугольным, и определения его гипотенузы, выполним следующие шаги:

1. Найдем длины сторон треугольника \(AB\), \(BC\) и \(AC\).
2. Найдем длину стороны \(AB\): \[ AB = \sqrt{(6-4)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} \]
3. Найдем длину стороны \(BC\): \[ BC = \sqrt{(8-6)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
4. Найдем длину стороны \(AC\): \[ AC = \sqrt{(8-4)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]
5. Проверим, выполняется ли теорема Пифагора: \[ AB^2 + BC^2 = (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5 + 20 = 25 \] \[ AC^2 = 5^2 = 25 \] Так как \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), треугольник \(ABC\) является прямоугольным.
6. Определим гипотенузу: Поскольку \(AC\) является наибольшей стороной и удовлетворяет условию теоремы Пифагора, \(AC\) является гипотенузой.

Ответ: \(AC\).

Решение №40292: Для решения задачи найти длину медианы \(AM\) треугольника \(ABC\) с вершинами \(A(-6; -3)\), \(B(-4; 3)\), \(C(-2; -1)\), выполним следующие шаги:

1. Найдем координаты точки \(M\), которая является серединой отрезка \(BC\).
2. Используем формулу середины отрезка: \[ M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) \] Подставим координаты точек \(B\) и \(C\): \[ M\left(\frac{-4 + (-2)}{2}, \frac{3 + (-1)}{2}\right) = M\left(\frac{-6}{2}, \frac{2}{2}\right) = M(-3, 1) \]
3. Теперь найдем длину медианы \(AM\) с использованием формулы расстояния между двумя точками: \[ AM = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] где \(A(-6, -3)\) и \(M(-3, 1)\).
4. Подставим координаты точек \(A\) и \(M\) в формулу: \[ AM = \sqrt{(-3 - (-6))^2 + (1 - (-3))^2} \] Упростим выражение: \[ AM = \sqrt{(-3 + 6)^2 + (1 + 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Ответ: 5.

Решение №40293: Для решения задачи найдем длину средней линии треугольника \(ABC\), параллельной стороне \(AC\), если \(A(-2, 1)\), \(B(-2, 7)\), \(C(2, 5)\). Решение будем проводить двумя способами. ### Способ 1: Использование координат середины отрезка

1. Найдем координаты середины отрезка \(AB\): \[ M_{AB} = \left( \frac{-2 + (-2)}{2}, \frac{1 + 7}{2} \right) = (-2, 4) \]
2. Найдем координаты середины отрезка \(BC\): \[ M_{BC} = \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{7 + 5}{2} \right) = (0, 6) \]
3. Средняя линия треугольника \(ABC\), параллельная стороне \(AC\), соединяет точки \(M_{AB}\) и \(M_{BC}\).
4. Найдем длину средней линии, используя формулу расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] где \( (x_1, y_1) = (-2, 4) \) и \( (x_2, y_2) = (0, 6) \).
5. Подставим координаты: \[ d = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

1. Средняя линия треугольника, параллельная одной из сторон, равна половине этой стороны.
2. Найдем длину стороны \(AC\), используя формулу расстояния между двумя точками: \[ AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] где \( (x_1, y_1) = (-2, 1) \) и \( (x_2, y_2) = (2, 5) \).
3. Подставим координаты: \[ AC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 2)^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]
4. Длина средней линии равна половине длины стороны \(AC\): \[ \text{Средняя линия} = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]

Ответ: \(2\sqrt{2}\).

Решение №40294: Для доказательства того, что четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником, необходимо показать, что его стороны перпендикулярны и равны.

1. Найдем координаты векторов сторон четырехугольника:
• \(\overrightarrow{AB} = B - A = (-4 - (-2), 1 - (-1)) = (-4 + 2, 1 + 1) = (-2, 2)\)
• \(\overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - (-4), 4 - 1) = (-1 + 4, 4 - 1) = (3, 3)\)
• \(\overrightarrow{CD} = D - C = (1 - (-1), 2 - 4) = (1 + 1, 2 - 4) = (2, -2)\)
• \(\overrightarrow{DA} = A - D = (-2 - 1, -1 - 2) = (-2 - 1, -1 - 2) = (-3, -3)\)
2. Проверим перпендикулярность соседних сторон:
• Для \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2) \cdot 3 + 2 \cdot 3 = -6 + 6 = 0 \] Скалярное произведение равно нулю, значит \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}\).
• Для \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\): \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 3 \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0 \] Скалярное произведение равно нулю, значит \(\overrightarrow{BC} \perp \overrightarrow{CD}\).
• Для \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DA}\): \[ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 2 \cdot (-3) + (-2) \cdot (-3) = -6 + 6 = 0 \] Скалярное произведение равно нулю, значит \(\overrightarrow{CD} \perp \overrightarrow{DA}\).
• Для \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-3) \cdot (-2) + (-3) \cdot 2 = 6 - 6 = 0 \] Скалярное произведение равно нулю, значит \(\overrightarrow{DA} \perp \overrightarrow{AB}\).
3. Проверим равенство длин противоположных сторон:
• Длины сторон: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{DA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
4. Так как противоположные стороны равны и соседние стороны перпендикулярны, четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником.

Ответ: NaN

Решение №40295: Для доказательства того, что четырехугольник \(ABCD\) является ромбом, необходимо показать, что все его стороны равны. Для этого сначала найдем длины всех сторон четырехугольника \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(DA\).

1. Найдем длину стороны \(AB\).
2. Используем формулу расстояния между двумя точками \(A(-1, 2)\) и \(B(2, 3)\): \[ AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (3 - 2)^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + 1^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]
3. Найдем длину стороны \(BC\).
4. Используем формулу расстояния между двумя точками \(B(2, 3)\) и \(C(3, 6)\): \[ BC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (6 - 3)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
5. Найдем длину стороны \(CD\).
6. Используем формулу расстояния между двумя точками \(C(3, 6)\) и \(D(0, 5)\): \[ CD = \sqrt{(0 - 3)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]
7. Найдем длину стороны \(DA\).
8. Используем формулу расстояния между двумя точками \(D(0, 5)\) и \(A(-1, 2)\): \[ DA = \sqrt{(-1 - 0)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \]
9. Сравним длины всех сторон: \[ AB = BC = CD = DA = \sqrt{10} \]
10. Поскольку все стороны четырехугольника \(ABCD\) равны, четырехугольник \(ABCD\) является ромбом.

Ответ: NaN

Решение №40296: Для решения задачи о нахождении координат вершин треугольника, зная координаты середин его сторон, выполним следующие шаги:

1. Обозначим координаты вершин треугольника как \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) и \(C(x_3, y_3)\).
2. Координаты середин сторон треугольника заданы: \(M_1(-2, 2)\), \(M_2(0, 7)\) и \(M_3(4, -1)\).
3. Координаты середин сторон треугольника можно выразить через координаты вершин: \[ M_1 = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] \[ M_2 = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \] \[ M_3 = \left( \frac{x_3 + x_1}{2}, \frac{y_3 + y_1}{2} \right) \]
4. Подставим координаты середин сторон: \[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = (-2, 2) \] \[ \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) = (0, 7) \] \[ \left( \frac{x_3 + x_1}{2}, \frac{y_3 + y_1}{2} \right) = (4, -1) \]
5. Разрешим систему уравнений для нахождения координат вершин: \[ \begin{cases} \frac{x_1 + x_2}{2} = -2 \\ \frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \\ \frac{x_2 + x_3}{2} = 0 \\ \frac{y_2 + y_3}{2} = 7 \\ \frac{x_3 + x_1}{2} = 4 \\ \frac{y_3 + y_1}{2} = -1 \end{cases} \]
6. Решим уравнения для \(x\): \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_2 + x_3 = 0 \\ x_3 + x_1 = 8 \end{cases} \]
7. Решим уравнения для \(y\): \[ \begin{cases} y_1 + y_2 = 4 \\ y_2 + y_3 = 14 \\ y_3 + y_1 = -2 \end{cases} \]
8. Решим систему уравнений для \(x\): \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_2 + x_3 = 0 \\ x_3 + x_1 = 8 \end{cases} \] Сложим первое и третье уравнения: \[ x_1 + x_2 + x_3 + x_1 = -4 + 8 \implies 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \] Подставим \(x_2 + x_3 = 0\): \[ 2x_1 = 4 \implies x_1 = 2 \] Подставим \(x_1 = 2\) в первое уравнение: \[ 2 + x_2 = -4 \implies x_2 = -6 \] Подставим \(x_2 = -6\) во второе уравнение: \[ -6 + x_3 = 0 \implies x_3 = 6 \]
9. Решим систему уравнений для \(y\): \[ \begin{cases} y_1 + y_2 = 4 \\ y_2 + y_3 = 14 \\ y_3 + y_1 = -2 \end{cases} \] Сложим первое и третье уравнения: \[ y_1 + y_2 + y_3 + y_1 = 4 - 2 \implies 2y_1 + y_2 + y_3 = 2 \] Подставим \(y_2 + y_3 = 14\): \[ 2y_1 + 14 = 2 \implies 2y_1 = -12 \implies y_1 = -6 \] Подставим \(y_1 = -6\) в первое уравнение: \[ -6 + y_2 = 4 \implies y_2 = 10 \] Подставим \(y_2 = 10\) во второе уравнение: \[ 10 + y_3 = 14 \implies y_3 = 4 \]
10. Таким образом, координаты вершин треугольника: \[ A(2, -6), B(-6, 10), C(6, 4) \]

Ответ: \((2; -6)\), \((6; 4)\), \((-6; 10)\). Указание. Данные точки вместе с каждой из искомых вершин образуют параллелограмм.