Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
В треугольнике \(АВС\) найдите длину средней линии, параллельной стороне \(АС\), если \(А(-2; 1)\), \(B(-2; 7)\), \(С(2; 5). Решите задачу двумя способами.
Ответ
\(2\sqrt{2}\).
Решение № 40293:
Для решения задачи найдем длину средней линии треугольника \(ABC\), параллельной стороне \(AC\), если \(A(-2, 1)\), \(B(-2, 7)\), \(C(2, 5)\). Решение будем проводить двумя способами.
### Способ 1: Использование координат середины отрезка
- Найдем координаты середины отрезка \(AB\):
\[
M_{AB} = \left( \frac{-2 + (-2)}{2}, \frac{1 + 7}{2} \right) = (-2, 4)
\]
- Найдем координаты середины отрезка \(BC\):
\[
M_{BC} = \left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{7 + 5}{2} \right) = (0, 6)
\]
- Средняя линия треугольника \(ABC\), параллельная стороне \(AC\), соединяет точки \(M_{AB}\) и \(M_{BC}\).
- Найдем длину средней линии, используя формулу расстояния между двумя точками:
\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
где \( (x_1, y_1) = (-2, 4) \) и \( (x_2, y_2) = (0, 6) \).
- Подставим координаты:
\[
d = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (6 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}
\]
### Способ 2: Использование свойства средней линии треугольника
- Средняя линия треугольника, параллельная одной из сторон, равна половине этой стороны.
- Найдем длину стороны \(AC\), используя формулу расстояния между двумя точками:
\[
AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]
где \( (x_1, y_1) = (-2, 1) \) и \( (x_2, y_2) = (2, 5) \).
- Подставим координаты:
\[
AC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{(2 + 2)^2 + 4^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}
\]
- Длина средней линии равна половине длины стороны \(AC\):
\[
\text{Средняя линия} = \frac{AC}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}
\]
Таким образом, длина средней линии треугольника \(ABC\), параллельной стороне \(AC\), равна \(2\sqrt{2}\).
Ответ: \(2\sqrt{2}\)