Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Середины сторон треугольника имеют координаты \((-2; 2)\), \((0; 7)\) и \((4; -1)\). Найдите координаты вершин треугольника.

Ответ

\((2; -6)\), \((6; 4)\), \((-6; 10)\). Указание. Данные точки вместе с каждой из искомых вершин образуют параллелограмм.

Решение № 40296:

Для решения задачи о нахождении координат вершин треугольника, зная координаты середин его сторон, выполним следующие шаги:

1. Обозначим координаты вершин треугольника как \(A(x_1, y_1)\), \(B(x_2, y_2)\) и \(C(x_3, y_3)\).
2. Координаты середин сторон треугольника заданы: \(M_1(-2, 2)\), \(M_2(0, 7)\) и \(M_3(4, -1)\).
3. Координаты середин сторон треугольника можно выразить через координаты вершин: \[ M_1 = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] \[ M_2 = \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) \] \[ M_3 = \left( \frac{x_3 + x_1}{2}, \frac{y_3 + y_1}{2} \right) \]
4. Подставим координаты середин сторон: \[ \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) = (-2, 2) \] \[ \left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right) = (0, 7) \] \[ \left( \frac{x_3 + x_1}{2}, \frac{y_3 + y_1}{2} \right) = (4, -1) \]
5. Разрешим систему уравнений для нахождения координат вершин: \[ \begin{cases} \frac{x_1 + x_2}{2} = -2 \\ \frac{y_1 + y_2}{2} = 2 \\ \frac{x_2 + x_3}{2} = 0 \\ \frac{y_2 + y_3}{2} = 7 \\ \frac{x_3 + x_1}{2} = 4 \\ \frac{y_3 + y_1}{2} = -1 \end{cases} \]
6. Решим уравнения для \(x\): \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_2 + x_3 = 0 \\ x_3 + x_1 = 8 \end{cases} \]
7. Решим уравнения для \(y\): \[ \begin{cases} y_1 + y_2 = 4 \\ y_2 + y_3 = 14 \\ y_3 + y_1 = -2 \end{cases} \]
8. Решим систему уравнений для \(x\): \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -4 \\ x_2 + x_3 = 0 \\ x_3 + x_1 = 8 \end{cases} \] Сложим первое и третье уравнения: \[ x_1 + x_2 + x_3 + x_1 = -4 + 8 \implies 2x_1 + x_2 + x_3 = 4 \] Подставим \(x_2 + x_3 = 0\): \[ 2x_1 = 4 \implies x_1 = 2 \] Подставим \(x_1 = 2\) в первое уравнение: \[ 2 + x_2 = -4 \implies x_2 = -6 \] Подставим \(x_2 = -6\) во второе уравнение: \[ -6 + x_3 = 0 \implies x_3 = 6 \]
9. Решим систему уравнений для \(y\): \[ \begin{cases} y_1 + y_2 = 4 \\ y_2 + y_3 = 14 \\ y_3 + y_1 = -2 \end{cases} \] Сложим первое и третье уравнения: \[ y_1 + y_2 + y_3 + y_1 = 4 - 2 \implies 2y_1 + y_2 + y_3 = 2 \] Подставим \(y_2 + y_3 = 14\): \[ 2y_1 + 14 = 2 \implies 2y_1 = -12 \implies y_1 = -6 \] Подставим \(y_1 = -6\) в первое уравнение: \[ -6 + y_2 = 4 \implies y_2 = 10 \] Подставим \(y_2 = 10\) во второе уравнение: \[ 10 + y_3 = 14 \implies y_3 = 4 \]
10. Таким образом, координаты вершин треугольника: \[ A(2, -6), B(-6, 10), C(6, 4) \]

Ответ: Вершины треугольника имеют координаты \(A(2, -6)\), \(B(-6, 10)\), \(C(6, 4)\).