Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите точку, равноудаленную от точек \((2; 3)\) и \((6; -1)\) и ле­жащую: а) на оси абсцисс; б) на оси ординат.

Ответ

а) \((3; 0)\); б) \((0; -3)\).

Решение № 40290:

Для решения задачи найдем точку, равноудаленную от точек \((2; 3)\) и \((6; -1)\) и лежащую на осях координат. ### Часть а): Точка на оси абсцисс

1. Запишем координаты точек \(A(2, 3)\) и \(B(6, -1)\).
2. Пусть точка \(C(x, 0)\) лежит на оси абсцисс и равноудалена от точек \(A\) и \(B\).
3. Расстояние от точки \(C\) до точки \(A\) равно: \[ CA = \sqrt{(x - 2)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + 9} \]
4. Расстояние от точки \(C\) до точки \(B\) равно: \[ CB = \sqrt{(x - 6)^2 + (0 + 1)^2} = \sqrt{(x - 6)^2 + 1} \]
5. Поскольку \(C\) равноудалена от \(A\) и \(B\), то: \[ \sqrt{(x - 2)^2 + 9} = \sqrt{(x - 6)^2 + 1} \]
6. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: \[ (x - 2)^2 + 9 = (x - 6)^2 + 1 \]
7. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ x^2 - 4x + 4 + 9 = x^2 - 12x + 36 + 1 \] \[ x^2 - 4x + 13 = x^2 - 12x + 37 \]
8. Отнимем \(x^2\) от обеих частей уравнения: \[ -4x + 13 = -12x + 37 \]
9. Решим линейное уравнение: \[ 8x = 24 \] \[ x = 3 \]
10. Таким образом, точка \(C(3, 0)\) равноудалена от точек \(A\) и \(B\) и лежит на оси абсцисс.

### Часть б): Точка на оси ординат

1. Пусть точка \(D(0, y)\) лежит на оси ординат и равноудалена от точек \(A\) и \(B\).
2. Расстояние от точки \(D\) до точки \(A\) равно: \[ DA = \sqrt{(0 - 2)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{4 + (y - 3)^2} \]
3. Расстояние от точки \(D\) до точки \(B\) равно: \[ DB = \sqrt{(0 - 6)^2 + (y + 1)^2} = \sqrt{36 + (y + 1)^2} \]
4. Поскольку \(D\) равноудалена от \(A\) и \(B\), то: \[ \sqrt{4 + (y - 3)^2} = \sqrt{36 + (y + 1)^2} \]
5. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней: \[ 4 + (y - 3)^2 = 36 + (y + 1)^2 \]
6. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 4 + y^2 - 6y + 9 = 36 + y^2 + 2y + 1 \] \[ y^2 - 6y + 13 = y^2 + 2y + 37 \]
7. Отнимем \(y^2\) от обеих частей уравнения: \[ -6y + 13 = 2y + 37 \]
8. Решим линейное уравнение: \[ -8y = 24 \] \[ y = -3 \]
9. Таким образом, точка \(D(0, -3)\) равноудалена от точек \(A\) и \(B\) и лежит на оси ординат.

### Ответ: - а) Точка на оси абсцисс: \( (3, 0) \) - б) Точка на оси ординат: \( (0, -3) \)