Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

С помощью формулы расстояния между точками докажите, что точки \(K(5; -3)\), \(М(2; 1)\) и \(N(-1; 5)\) лежат на одной прямой. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Ответ

\(M\).

Решение № 40289:

Для доказательства того, что точки \(K(5; -3)\), \(M(2; 1)\) и \(N(-1; 5)\) лежат на одной прямой, используем свойство, что точки лежат на одной прямой, если расстояние между точками \(K\) и \(M\) равно сумме расстояний между точками \(K\) и \(N\) и между точками \(N\) и \(M\).

1. Найдем расстояние между точками \(K(5; -3)\) и \(M(2; 1)\) по формуле расстояния между двумя точками: \[ KM = \sqrt{(5 - 2)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
2. Найдем расстояние между точками \(K(5; -3)\) и \(N(-1; 5)\): \[ KN = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]
3. Найдем расстояние между точками \(M(2; 1)\) и \(N(-1; 5)\): \[ MN = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
4. Проверим, равно ли расстояние \(KM\) сумме расстояний \(KN\) и \(MN\): \[ KM = KN + MN \implies 5 = 10 + 5 \implies 5 \neq 15 \]
5. Проверим, равно ли расстояние \(KN\) сумме расстояний \(KM\) и \(MN\): \[ KN = KM + MN \implies 10 = 5 + 5 \implies 10 = 10 \]
6. Так как \(KN = KM + MN\), точка \(M\) лежит между точками \(K\) и \(N\).

Таким образом, точки \(K(5; -3)\), \(M(2; 1)\) и \(N(-1; 5)\) лежат на одной прямой, и точка \(M\) лежит между точками \(K\) и \(N\). Ответ: Точка \(M(2; 1)\) лежит между точками \(K(5; -3)\) и \(N(-1; 5)\).