Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 1

Информация о книге не найдена

Условие

Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма \(ABCD\), если: а) \(А(2; 6)\), \(В(4; 7)\), \(С(8; 10)\); б) \(В(-1; 4)\), \(С(3; 5)\), \(D(1; 3)\).

Ответ

а) \(D(6; 9)\); б) \(А(-3; 2)\).

Решение № 40278:

### а) Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма \(ABCD\), если \(А(2; 6)\), \(В(4; 7)\), \(С(8; 10)\).

1. Запишем координаты известных вершин: \[ A(2, 6), \quad B(4, 7), \quad C(8, 10) \]
2. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, вектор \(\overrightarrow{AB}\) равен вектору \(\overrightarrow{DC}\).
3. Вычислим вектор \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - 2, 7 - 6) = (2, 1) \]
4. Вычислим вектор \(\overrightarrow{DC}\): \[ \overrightarrow{DC} = C - D = (8 - x_D, 10 - y_D) \]
5. Приравняем векторы \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{DC}\): \[ (2, 1) = (8 - x_D, 10 - y_D) \]
6. Решим систему уравнений: \[ 8 - x_D = 2 \quad \text{и} \quad 10 - y_D = 1 \]
7. Найдем координаты вершины \(D\): \[ x_D = 8 - 2 = 6 \] \[ y_D = 10 - 1 = 9 \]
8. Таким образом, координаты вершины \(D\) равны: \[ D(6, 9) \]

### б) Найдите координаты четвертой вершины параллелограмма \(ABCD\), если \(В(-1; 4)\), \(С(3; 5)\), \(D(1; 3)\).

1. Запишем координаты известных вершин: \[ B(-1, 4), \quad C(3, 5), \quad D(1, 3) \]
2. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, вектор \(\overrightarrow{BC}\) равен вектору \(\overrightarrow{AD}\).
3. Вычислим вектор \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-1), 5 - 4) = (4, 1) \]
4. Вычислим вектор \(\overrightarrow{AD}\): \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (1 - x_A, 3 - y_A) \]
5. Приравняем векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AD}\): \[ (4, 1) = (1 - x_A, 3 - y_A) \]
6. Решим систему уравнений: \[ 1 - x_A = 4 \quad \text{и} \quad 3 - y_A = 1 \]
7. Найдем координаты вершины \(A\): \[ x_A = 1 - 4 = -3 \] \[ y_A = 3 - 1 = 2 \]
8. Таким образом, координаты вершины \(A\) равны: \[ A(-3, 2) \]