Экзамены с этой задачей:
Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,
Задача в следующих классах: 9 класс
Сложность задачи : 2
Информация о книге не найдена
Условие
Докажите, что треугольник с вершинами в точках \(А(4; 1)\), \(B(6; 2)\), \(С(8; -2)\) прямоугольный, и назовите его гипотенузу.
Ответ
\(AC\).
Решение № 40291:
Для доказательства того, что треугольник с вершинами в точках \(A(4; 1)\), \(B(6; 2)\), \(C(8; -2)\) является прямоугольным, и определения его гипотенузы, выполним следующие шаги:
- Найдем длины сторон треугольника \(AB\), \(BC\) и \(AC\).
- Найдем длину стороны \(AB\):
\[
AB = \sqrt{(6-4)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}
\]
- Найдем длину стороны \(BC\):
\[
BC = \sqrt{(8-6)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
\]
- Найдем длину стороны \(AC\):
\[
AC = \sqrt{(8-4)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
- Проверим, выполняется ли теорема Пифагора:
\[
AB^2 + BC^2 = (\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{5})^2 = 5 + 20 = 25
\]
\[
AC^2 = 5^2 = 25
\]
Так как \(AB^2 + BC^2 = AC^2\), треугольник \(ABC\) является прямоугольным.
- Определим гипотенузу:
Поскольку \(AC\) является наибольшей стороной и удовлетворяет условию теоремы Пифагора, \(AC\) является гипотенузой.
Таким образом, треугольник с вершинами в точках \(A(4; 1)\), \(B(6; 2)\), \(C(8; -2)\) является прямоугольным, и его гипотенуза — это сторона \(AC\).
Ответ: \(AC\)