Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, метод решения задач в математике, Геометрические методы, метод координат, Простейшие задачи в координатах,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Докажите, что четырехугольник \(ABCD\) - прямоугольник, если \(А(-2; -1)\), \(B(-4; 1)\), \(С(-1; 4)\), \(D(1; 2)\).

Ответ

NaN

Решение № 40294:

Для доказательства того, что четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником, необходимо показать, что его стороны перпендикулярны и равны.

1. Найдем координаты векторов сторон четырехугольника:
• \(\overrightarrow{AB} = B - A = (-4 - (-2), 1 - (-1)) = (-4 + 2, 1 + 1) = (-2, 2)\)
• \(\overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - (-4), 4 - 1) = (-1 + 4, 4 - 1) = (3, 3)\)
• \(\overrightarrow{CD} = D - C = (1 - (-1), 2 - 4) = (1 + 1, 2 - 4) = (2, -2)\)
• \(\overrightarrow{DA} = A - D = (-2 - 1, -1 - 2) = (-2 - 1, -1 - 2) = (-3, -3)\)
2. Проверим перпендикулярность соседних сторон:
• Для \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-2) \cdot 3 + 2 \cdot 3 = -6 + 6 = 0 \] Скалярное произведение равно нулю, значит \(\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{BC}\).
• Для \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{CD}\): \[ \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 3 \cdot 2 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0 \] Скалярное произведение равно нулю, значит \(\overrightarrow{BC} \perp \overrightarrow{CD}\).
• Для \(\overrightarrow{CD}\) и \(\overrightarrow{DA}\): \[ \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{DA} = 2 \cdot (-3) + (-2) \cdot (-3) = -6 + 6 = 0 \] Скалярное произведение равно нулю, значит \(\overrightarrow{CD} \perp \overrightarrow{DA}\).
• Для \(\overrightarrow{DA}\) и \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{AB} = (-3) \cdot (-2) + (-3) \cdot 2 = 6 - 6 = 0 \] Скалярное произведение равно нулю, значит \(\overrightarrow{DA} \perp \overrightarrow{AB}\).
3. Проверим равенство длин противоположных сторон:
• Длины сторон: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{CD}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{DA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \]
4. Так как противоположные стороны равны и соседние стороны перпендикулярны, четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник \(ABCD\) является прямоугольником.