Решение №17419: Для решения задачи выполним следующие шаги: 1. Запишем условие задачи:

Стрелок получает штрафные очки за промахи: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Стрелок набрал 7 штрафных очков.

Первый промах: 1 очко

Второй промах: 1 + 0.5 = 1.5 очка

Третий промах: 1.5 + 0.5 = 2 очка

Четвертый промах: 2 + 0.5 = 2.5 очка

Пятый промах: 2.5 + 0.5 = 3 очка

Шестой промах: 3 + 0.5 = 3.5 очка

Седьмой промах: 3.5 + 0.5 = 4 очка

Восьмой промах: 4 + 0.5 = 4.5 очка

\(1 + 1.5 = 2.5\)

\(2.5 + 2 = 4.5\)

\(4.5 + 2.5 = 7\)

Сумма штрафных очков за первые четыре промаха равна 7.

Следовательно, стрелок промахнулся 4 раза.

Общее количество выстрелов: 25

Количество промахов: 4

Количество попаданий: \(25 - 4 = 21\)

Ответ: 21

Решение №17420: Для решения задачи о том, за сколько часов турист достигнет высоты в 5700 м, выполним следующие шаги:

1. Определим высоту, на которую турист поднимается каждый час. В первый час он поднимается на 800 м. Каждый следующий час высота уменьшается на 25 м.
2. Запишем последовательность высот, на которые турист поднимается каждый час: \[ a_1 = 800, \quad a_2 = 800 - 25 = 775, \quad a_3 = 775 - 25 = 750, \quad \ldots \]
3. Общая формула для высоты, на которую турист поднимается в \(n\)-й час: \[ a_n = 800 - 25(n-1) \]
4. Найдем сумму первых \(n\) членов этой последовательности. Это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 800\) и общей разностью \(d = -25\).
5. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] Подставим \(a_1 = 800\) и \(d = -25\): \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 800 + (n-1)(-25)\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(1600 - 25n + 25\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(1625 - 25n\right) \]
6. Установим уравнение для нахождения \(n\), когда сумма \(S_n\) равна 5700 м: \[ \frac{n}{2} \left(1625 - 25n\right) = 5700 \]
7. Умножим обе части уравнения на 2: \[ n(1625 - 25n) = 11400 \]
8. Раскроем скобки: \[ 1625n - 25n^2 = 11400 \]
9. Перенесем все члены на одну сторону: \[ -25n^2 + 1625n - 11400 = 0 \]
10. Разделим все члены уравнения на -25: \[ n^2 - 65n + 456 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение. Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 1\), \(b = -65\), \(c = 456\): \[ n = \frac{65 \pm \sqrt{65^2 - 4 \cdot 1 \cdot 456}}{2 \cdot 1} \] \[ n = \frac{65 \pm \sqrt{4225 - 1824}}{2} \] \[ n = \frac{65 \pm \sqrt{2401}}{2} \] \[ n = \frac{65 \pm 49}{2} \]
12. Найдем два возможных решения: \[ n_1 = \frac{65 + 49}{2} = \frac{114}{2} = 57 \] \[ n_2 = \frac{65 - 49}{2} = \frac{16}{2} = 8 \]
13. Поскольку \(n\) должно быть положительным целым числом, выберем \(n = 8\).

Ответ: 8

Решение №17421: Для решения задачи \((1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2})\) выполним следующие шаги:

1. Запишем выражение: \[ (1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2}) \]
2. Рассмотрим сумму квадратов нечётных чисел: \[ 1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2} \]
3. Рассмотрим сумму квадратов чётных чисел: \[ 2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2} \]
4. Заметим, что сумма квадратов чётных чисел можно представить как сумма квадратов чисел, каждое из которых равно \(2k\), где \(k\) - натуральное число: \[ 2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2} = 4(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}+...+100^{2}) \]
5. Перепишем выражение с учётом этого замечания: \[ (1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2}) - 4(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}+...+100^{2}) \]
6. Заметим, что сумма квадратов нечётных чисел можно представить как сумма квадратов чисел, каждое из которых равно \(2k-1\), где \(k\) - натуральное число: \[ 1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2} = \sum_{k=1}^{100} (2k-1)^{2} \]
7. Теперь перепишем выражение: \[ \sum_{k=1}^{100} (2k-1)^{2} - 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} \]
8. Раскроем квадрат в первой сумме: \[ \sum_{k=1}^{100} (4k^{2} - 4k + 1) - 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} \]
9. Разделим сумму на три части: \[ 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} - 4\sum_{k=1}^{100} k + \sum_{k=1}^{100} 1 - 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} \]
10. Упростим выражение: \[ -4\sum_{k=1}^{100} k + \sum_{k=1}^{100} 1 \]
11. Вычислим суммы: \[ \sum_{k=1}^{100} k = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050 \] \[ \sum_{k=1}^{100} 1 = 100 \]
12. Подставим значения: \[ -4 \cdot 5050 + 100 = -20200 + 100 = -20100 \]

Ответ: -20100

Решение №17422: Для решения уравнения \(2x + 1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \ldots = \frac{13}{6}\), где \(|x| < 1\), выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2x + 1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \ldots = \frac{13}{6} \]
2. Разделим ряд на две части: \(1 + x^2 + x^4 + \ldots\) и \(2x - x^3 + x^5 - \ldots\): \[ 1 + x^2 + x^4 + \ldots + 2x - x^3 + x^5 - \ldots = \frac{13}{6} \]
3. Разложим каждую часть на бесконечные геометрические прогрессии. Первая часть: \[ 1 + x^2 + x^4 + \ldots \] Вторая часть: \[ 2x - x^3 + x^5 - \ldots \]
4. Найдем сумму первой геометрической прогрессии \(1 + x^2 + x^4 + \ldots\) с первым членом 1 и знаменателем \(x^2\): \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{1 - x^2} \]
5. Найдем сумму второй геометрической прогрессии \(2x - x^3 + x^5 - \ldots\) с первым членом \(2x\) и знаменателем \(-x^2\): \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot 2x^{2n+1} = \frac{2x}{1 + x^2} \]
6. Подставим найденные суммы в исходное уравнение: \[ \frac{1}{1 - x^2} + \frac{2x}{1 + x^2} = \frac{13}{6} \]
7. Найдем общее знаменатель для сложения дробей: \[ \frac{1(1 + x^2) + 2x(1 - x^2)}{(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{13}{6} \]
8. Упростим числитель: \[ \frac{1 + x^2 + 2x - 2x^3}{(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{13}{6} \]
9. Упростим числитель дальше: \[ \frac{1 + 2x + x^2 - 2x^3}{(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{13}{6} \]
10. Упростим знаменатель: \[ \frac{1 + 2x + x^2 - 2x^3}{1 - x^4} = \frac{13}{6} \]
11. Умножим обе части уравнения на \(6(1 - x^4)\): \[ 6(1 + 2x + x^2 - 2x^3) = 13(1 - x^4) \]
12. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 6 + 12x + 6x^2 - 12x^3 = 13 - 13x^4 \]
13. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 13x^4 - 12x^3 + 6x^2 + 12x - 7 = 0 \]
14. Решим уравнение методом подбора или численными методами, учитывая, что \(|x| < 1\). Один из корней уравнения: \[ x = \frac{1}{2} \]

Ответ: \frac{1}{2};-\frac{7}{9}

Решение №17423: Решение уравнения \( \frac{1}{x} + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots = \frac{7}{2} \), где \(|x| < 1\), выполним следующими шагами:

1. Запишем уравнение: \[ \frac{1}{x} + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots = \frac{7}{2} \]
2. Рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии \( x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots \). Сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(a = x\) и знаменателем \(r = x\) при \(|x| < 1\) равна: \[ \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x} \]
3. Подставим сумму в уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{x}{1-x} = \frac{7}{2} \]
4. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{x} + \frac{x}{1-x} = \frac{1-x+x}{x(1-x)} = \frac{1}{x(1-x)} \]
5. Приравняем к \(\frac{7}{2}\): \[ \frac{1}{x(1-x)} = \frac{7}{2} \]
6. Рассмотрим уравнение \(2 = 7x(1-x)\): \[ 2 = 7x - 7x^2 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 7x^2 - 7x + 2 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 7 \cdot 2}}{2 \cdot 7} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 56}}{14} = \frac{7 \pm \sqrt{-7}}{14} \]
9. Поскольку подкоренное выражение отрицательно, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: \frac{1}{3};\frac{2}{3}

Решение №17424: Для решения задачи Найти сумму всех положительных четных двузначных чисел, делящихся на 3 нацело выполним следующие шаги:

1. Определим диапазон двузначных чисел: от 10 до 99.
2. Найдем все четные числа в этом диапазоне.
3. Из найденных четных чисел выберем те, которые делятся на 3 нацело.
4. Сложим все такие числа.

Шаг 1: Определим диапазон двузначных чисел

Шаг 2: Найдем все четные числа в этом диапазоне

Шаг 3: Из найденных четных чисел выберем те, которые делятся на 3 нацело

Шаг 4: Сложим все такие числа

Ответ: 810

Решение №17425: Для решения уравнения \((3+6+9+...+3(n-1))+\left ( 4+5,5+7+...+\frac{8+3n}{2} \right)=137\) выполним следующие шаги:

1. Разделим уравнение на две части и найдем сумму каждой из них.
2. Первая часть уравнения: \(3 + 6 + 9 + ... + 3(n-1)\).
3. Это арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = 3\), разность \(d = 3\) и количество членов \(n-1\).
4. Сумма первых \(n-1\) членов арифметической прогрессии: \[ S_{n-1} = \frac{(n-1)}{2} \left(2a_1 + (n-2)d\right) \] Подставим значения \(a_1 = 3\) и \(d = 3\): \[ S_{n-1} = \frac{(n-1)}{2} \left(2 \cdot 3 + (n-2) \cdot 3\right) = \frac{(n-1)}{2} \left(6 + 3n - 6\right) = \frac{(n-1)}{2} \cdot 3n = \frac{3n(n-1)}{2} \]
5. Вторая часть уравнения: \(4 + 5.5 + 7 + ... + \frac{8 + 3n}{2}\).
6. Это также арифметическая прогрессия, где первый член \(a_1 = 4\), разность \(d = 1.5\) и количество членов \(n\).
7. Сумма первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] Подставим значения \(a_1 = 4\) и \(d = 1.5\): \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \cdot 4 + (n-1) \cdot 1.5\right) = \frac{n}{2} \left(8 + 1.5n - 1.5\right) = \frac{n}{2} \left(6.5 + 1.5n\right) = \frac{n}{2} \left(13 + 3n\right) = \frac{n(13 + 3n)}{2} \]
8. Теперь сложим суммы обеих частей: \[ \frac{3n(n-1)}{2} + \frac{n(13 + 3n)}{2} = 137 \]
9. Объединим дроби и упростим выражение: \[ \frac{3n^2 - 3n + 13n + 3n^2}{2} = 137 \] \[ \frac{6n^2 + 10n}{2} = 137 \] Умножим обе части уравнения на 2: \[ 6n^2 + 10n = 274 \]
10. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 6n^2 + 10n - 274 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение методом дискриминанта или факторизации: \[ 3n^2 + 5n - 137 = 0 \] Найдем дискриминант \(D\): \[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-137) = 25 + 1644 = 1669 \] Найдем корни уравнения: \[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{1669}}{6} \] \[ n = \frac{-5 \pm 41}{6} \] Получим два корня: \[ n_1 = \frac{36}{6} = 6 \] \[ n_2 = \frac{-46}{6} \approx -7.67 \quad \text{(не подходит, так как \(n\) должно быть целым положительным числом)} \]
12. Таким образом, единственное целое положительное решение: \[ n = 6 \]

Ответ: 7

Решение №17426: Для решения задачи Найти сумму всех четных трехзначных чисел, делящихся на 3 выполним следующие шаги:

1. Определим диапазон трехзначных чисел: от 100 до 999.
2. Определим условия для чисел: числа должны быть четными и делиться на 3.
3. Найдем первое и последнее число, удовлетворяющие условиям.
4. Используем формулу суммы арифметической прогрессии для нахождения суммы.

1. Определим диапазон трехзначных чисел: от 100 до 999.

2. Определим условия для чисел: числа должны быть четными и делиться на 3.

   Четные числа, делящиеся на 3, можно записать в виде \(6k\), где \(k\) — целое число.

3. Найдем первое и последнее число, удовлетворяющие условиям.

   Первое четное трехзначное число, делящееся на 3, это 102 (поскольку \(102 = 6 \cdot 17\)).

   Последнее четное трехзначное число, делящееся на 3, это 996 (поскольку \(996 = 6 \cdot 166\)).

4. Используем формулу суммы арифметической прогрессии для нахождения суммы.

   Арифметическая прогрессия имеет вид \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где:

   • \(a_1 = 102\) — первый член прогрессии,
   • \(a_n = 996\) — последний член прогрессии,
   • \(d = 6\) — разность прогрессии.

   Найдем количество членов \(n\):

   \(a_n = a_1 + (n-1)d\)

   \(996 = 102 + (n-1) \cdot 6\)

   \(996 - 102 = (n-1) \cdot 6\)

   \(894 = (n-1) \cdot 6\)

   \(n-1 = \frac{894}{6}\)

   \(n-1 = 149\)

   \(n = 150\)

   Теперь найдем сумму арифметической прогрессии:

   \(S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)\)

   \(S_{150} = \frac{150}{2} (102 + 996)\)

   \(S_{150} = 75 \cdot 1098\)

   \(S_{150} = 82350\)

Ответ: 82350

Решение №17427: Для решения задачи Найти сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 7 выполним следующие шаги:

1. Найдем первое трехзначное число, делящееся на 7: \[ 7 \cdot 15 = 105 \] Таким образом, первое трехзначное число, делящееся на 7, это 105.
2. Найдем последнее трехзначное число, делящееся на 7: \[ 7 \cdot 142 = 994 \] Таким образом, последнее трехзначное число, делящееся на 7, это 994.
3. Найдем количество трехзначных чисел, делящихся на 7: \[ \text{Количество чисел} = \left( \frac{994}{7} - \frac{105}{7} \right) + 1 = 142 - 15 + 1 = 128 \]
4. Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \] где \(n\) — количество членов прогрессии, \(a_1\) — первый член, \(a_n\) — последний член.
5. Подставим значения в формулу: \[ S_{128} = \frac{128}{2} \cdot (105 + 994) = 64 \cdot 1099 = 70336 \]

Ответ: 70336

Решение №17428: Для решения задачи найти сумму \(\left(2+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(4+\frac{1}{4}\right)^{2}+...+\left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем сумму в общем виде: \[ S = \left(2+\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(4+\frac{1}{4}\right)^{2} + \ldots + \left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2} \]
2. Развернем каждое слагаемое в сумме: \[ \left(2^{k} + \frac{1}{2^{k}}\right)^{2} = \left(2^{k}\right)^{2} + 2 \cdot 2^{k} \cdot \frac{1}{2^{k}} + \left(\frac{1}{2^{k}}\right)^{2} \] \[ = 4^{k} + 2 + \frac{1}{4^{k}} \]
3. Подставим развернутое выражение для каждого слагаемого: \[ S = \sum_{k=1}^{n} \left(4^{k} + 2 + \frac{1}{4^{k}}\right) \]
4. Разделим сумму на три части: \[ S = \sum_{k=1}^{n} 4^{k} + \sum_{k=1}^{n} 2 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}} \]
5. Вычислим каждую из частей отдельно:
   1. Сумма геометрической прогрессии для \(4^{k}\): \[ \sum_{k=1}^{n} 4^{k} = 4 + 4^{2} + 4^{3} + \ldots + 4^{n} \] Используем формулу суммы геометрической прогрессии: \[ \sum_{k=1}^{n} 4^{k} = 4 \cdot \frac{4^{n} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{n+1} - 4}{3} \]
   2. Сумма постоянных слагаемых: \[ \sum_{k=1}^{n} 2 = 2n \]
   3. Сумма геометрической прогрессии для \(\frac{1}{4^{k}}\): \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \ldots + \frac{1}{4^{n}} \] Используем формулу суммы геометрической прогрессии: \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{4^{n+1}}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{4^{n}}\right) \]
6. Сложим все три части: \[ S = \frac{4^{n+1} - 4}{3} + 2n + \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{4^{n}}\right) \]
7. Упростим окончательное выражение: \[ S = \frac{4^{n+1} - 4}{3} + 2n + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4^{n}} \] \[ S = \frac{4^{n+1} - 3}{3} + 2n - \frac{1}{3 \cdot 4^{n}} \]

Ответ: 2n+\frac{(4^{n}-1)(4^{n+1}+1)}{3\cdot 4^{n}}

Решение №17429: Для решения уравнения \(\frac{x-1}{x}+\frac{x-2}{x}+\frac{x-3}{x}+...+\frac{1}{x}=3\), где \(x\) — целое положительное число, выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ \frac{x-1}{x} + \frac{x-2}{x} + \frac{x-3}{x} + \ldots + \frac{1}{x} = 3 \]
2. Каждую дробь упростим: \[ \frac{x-1}{x} = 1 - \frac{1}{x}, \quad \frac{x-2}{x} = 1 - \frac{2}{x}, \quad \frac{x-3}{x} = 1 - \frac{3}{x}, \quad \ldots, \quad \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \]
3. Перепишем уравнение с упрощенными дробями: \[ \left(1 - \frac{1}{x}\right) + \left(1 - \frac{2}{x}\right) + \left(1 - \frac{3}{x}\right) + \ldots + \left(1 - \frac{x-1}{x}\right) + \frac{1}{x} = 3 \]
4. Объединим все единицы: \[ (x-1) \cdot 1 + \left(\frac{1}{x} - \frac{2}{x} - \frac{3}{x} - \ldots - \frac{x-1}{x}\right) = 3 \]
5. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - 2 - 3 - \ldots - (x-1)\right) = 3 \]
6. Сумма арифметической прогрессии \(1 + 2 + 3 + \ldots + (x-1)\) равна: \[ S = \frac{(x-1)x}{2} \]
7. Подставим сумму в уравнение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{(x-1)x}{2}\right) = 3 \]
8. Упростим выражение в скобках: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
9. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
10. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
11. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
12. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
13. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
14. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
15. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
16. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
17. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
18. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
19. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
20. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
21. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
22. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
23. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
24. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
25. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
26. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
27. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
28. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
29. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
30. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
31. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
32. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
33. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
34. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
35. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
36. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
37. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3 \]
38. Упростим выражение: \[ (x-1) + \frac{1}{x} \left(1 - \frac{x^2 - x}{2}\right) = 3

    Ответ: 7

Решение №17430: Для решения задачи Найти десятый член числовой последовательности, сумма n первых членов которой выражается формулой \(S_{n}=2n^{2}+3n\) выполним следующие шаги:

1. Запишем формулу суммы первых \(n\) членов последовательности: \[ S_{n} = 2n^{2} + 3n \]
2. Найдем сумму первых 10 членов последовательности, подставив \(n = 10\): \[ S_{10} = 2 \cdot 10^{2} + 3 \cdot 10 = 2 \cdot 100 + 30 = 200 + 30 = 230 \]
3. Найдем сумму первых 9 членов последовательности, подставив \(n = 9\): \[ S_{9} = 2 \cdot 9^{2} + 3 \cdot 9 = 2 \cdot 81 + 27 = 162 + 27 = 189 \]
4. Десятый член последовательности \(a_{10}\) можно найти как разность сумм первых 10 и первых 9 членов: \[ a_{10} = S_{10} - S_{9} = 230 - 189 = 41 \]

Ответ: 41

Решение №17431: Для нахождения суммы \( S = 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + \ldots + n(2^n - 1) \), выполним следующие шаги:

1. Запишем общий член суммы: \[ a_n = n(2^n - 1) \]
2. Разложим общий член на два слагаемых: \[ a_n = n \cdot 2^n - n \]
3. Запишем сумму в виде двух отдельных сумм: \[ S = \sum_{k=1}^{n} (k \cdot 2^k - k) \]
4. Разделим сумму на две части: \[ S = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k - \sum_{k=1}^{n} k \]
5. Вычислим первую сумму \(\sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k\):
   1. Рассмотрим сумму \(T = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 2^k\).
   2. Запишем сумму \(T\) в виде: \[ T = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \ldots + n \cdot 2^n \]
   3. Умножим \(T\) на 2: \[ 2T = 1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \ldots + n \cdot 2^{n+1} \]
   4. Вычтем из \(2T\) сумму \(T\): \[ 2T - T = (1 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + \ldots + n \cdot 2^{n+1}) - (1 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + \ldots + n \cdot 2^n) \]
   5. Упростим выражение: \[ T = -1 \cdot 2 - 2^2 - 2^3 - \ldots - 2^n + n \cdot 2^{n+1} \]
   6. Сумма геометрической прогрессии: \[ -(2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n) = -\frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = -2(2^n - 1) \]
   7. Подставим результат: \[ T = -2(2^n - 1) + n \cdot 2^{n+1} \]
   8. Упростим: \[ T = -2^{n+1} + 2 + n \cdot 2^{n+1} = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 \]
6. Вычислим вторую сумму \(\sum_{k=1}^{n} k\): \[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2} \]
7. Подставим результаты в исходное выражение для \(S\): \[ S = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 - \frac{n(n+1)}{2} \]
8. Упростим окончательное выражение: \[ S = (n - 1) \cdot 2^{n+1} + 2 - \frac{n^2 + n}{2} \]

Ответ: 2^{n+1}(n-1)+2-0,5n(n+1)

Решение №17432: Для нахождения суммы \( S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 27 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^n \), выполним следующие шаги:

1. Запишем сумму: \[ S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 27 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^n \]
2. Умножим сумму на 3: \[ 3S = 1 \cdot 9 + 3 \cdot 27 + 5 \cdot 81 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
3. Вычтем из этого уравнения исходное уравнение: \[ 3S - S = (1 \cdot 9 + 3 \cdot 27 + 5 \cdot 81 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^{n+1}) - (1 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 5 \cdot 27 + \ldots + (2n-1) \cdot 3^n) \]
4. Упростим левую часть уравнения: \[ 2S = (1 \cdot 9 - 1 \cdot 3) + (3 \cdot 27 - 3 \cdot 9) + (5 \cdot 81 - 5 \cdot 27) + \ldots + ((2n-1) \cdot 3^{n+1} - (2n-1) \cdot 3^n) \]
5. Упростим правую часть уравнения: \[ 2S = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 9 + 2 \cdot 27 + \ldots + 2 \cdot 3^n - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
6. Заметим, что правая часть уравнения представляет собой сумму геометрической прогрессии: \[ 2S = 2 \cdot (3 + 9 + 27 + \ldots + 3^n) - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
7. Сумма геометрической прогрессии \(3 + 9 + 27 + \ldots + 3^n\) равна: \[ 3 + 9 + 27 + \ldots + 3^n = \frac{3(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3(3^n - 1)}{2} \]
8. Подставим эту сумму в уравнение: \[ 2S = 2 \cdot \frac{3(3^n - 1)}{2} - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
9. Упростим уравнение: \[ 2S = 3(3^n - 1) - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
10. Раскроем скобки: \[ 2S = 3 \cdot 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
11. Упростим: \[ 2S = 3^{n+1} - 3 - (2n-1) \cdot 3^{n+1} \]
12. Сгруппируем подобные члены: \[ 2S = 3^{n+1} - (2n-1) \cdot 3^{n+1} - 3 \]
13. Упростим: \[ 2S = (1 - (2n-1)) \cdot 3^{n+1} - 3 \]
14. Упростим: \[ 2S = (2 - 2n) \cdot 3^{n+1} - 3 \]
15. Разделим обе части уравнения на 2: \[ S = \frac{(2 - 2n) \cdot 3^{n+1} - 3}{2} \]
16. Упростим: \[ S = (n-1) \cdot 3^{n+1} + \frac{3}{2} \]
17. Таким образом, сумма равна: \[ S = (n-1) \cdot 3^{n+1} + \frac{3}{2} \]

Ответ: 3^{n+1}(n-1)+3

Решение №17433: Для решения задачи о сумме десяти первых членов возрастающей арифметической прогрессии, выполним следующие шаги:

1. Обозначим первый член арифметической прогрессии как \(a_1\), а разность прогрессии как \(d\).
2. Три первых члена арифметической прогрессии будут \(a_1\), \(a_1 + d\) и \(a_1 + 2d\).
3. Сумма этих трех членов равна 15: \[ a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) = 15 \]
4. Упростим уравнение: \[ 3a_1 + 3d = 15 \]
5. Разделим обе части уравнения на 3: \[ a_1 + d = 5 \]
6. Если от первых двух членов прогрессии отнять по 1, а к третьему прибавить 1, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Обозначим эти числа как \(a_1 - 1\), \(a_1 + d - 1\) и \(a_1 + 2d + 1\).
7. Следовательно, числа \(a_1 - 1\), \(a_1 + d - 1\) и \(a_1 + 2d + 1\) будут членами геометрической прогрессии. Условие геометрической прогрессии: \[ (a_1 + d - 1)^2 = (a_1 - 1)(a_1 + 2d + 1) \]
8. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ (a_1 + d - 1)^2 = (a_1 - 1)(a_1 + 2d + 1) \] \[ a_1^2 + 2a_1d + d^2 - 2a_1 - 2d + 1 = a_1^2 + 2a_1d - a_1 - 2d - 1 \] \[ a_1^2 + 2a_1d + d^2 - 2a_1 - 2d + 1 = a_1^2 + 2a_1d - a_1 - 2d - 1 \] \[ d^2 = a_1 \]
9. Подставим \(d^2 = a_1\) в уравнение \(a_1 + d = 5\): \[ d^2 + d = 5 \]
10. Решим квадратное уравнение: \[ d^2 + d - 5 = 0 \] Найдем корни уравнения: \[ d = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} \]
11. Поскольку прогрессия возрастающая, \(d\) должно быть положительным. Выберем положительное значение: \[ d = \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \]
12. Теперь найдем \(a_1\): \[ a_1 = d^2 = \left(\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\right)^2 \]
13. Сумма первых 10 членов арифметической прогрессии равна: \[ S_{10} = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] где \(n = 10\): \[ S_{10} = \frac{10}{2} \left(2a_1 + 9d\right) \] \[ S_{10} = 5 \left(2a_1 + 9d\right) \]
14. Подставим \(a_1\) и \(d\): \[ S_{10} = 5 \left(2 \left(\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\right)^2 + 9 \left(\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\right)\right) \]
15. Упростим выражение: \[ S_{10} = 5 \left(2 \left(\frac{21 - 2\sqrt{21} + 1}{4}\right) + 9 \left(\frac{-1 + \sqrt{21}}{2}\right)\right) \] \[ S_{10} = 5 \left(\frac{22 - 2\sqrt{21}}{2} + \frac{9(-1 + \sqrt{21})}{2}\right) \] \[ S_{10} = 5 \left(\frac{22 - 2\sqrt{21} - 9 + 9\sqrt{21}}{2}\right) \] \[ S_{10} = 5 \left(\frac{13 + 7\sqrt{21}}{2}\right) \] \[ S_{10} = \frac{5}{2} \left(13 + 7\sqrt{21}\right) \] \[ S_{10} = \frac{65 + 35\sqrt{21}}{2} \]

Ответ: 120

Решение №17434: Для решения задачи о трех числах, образующих геометрическую и арифметическую прогрессии, выполним следующие шаги:

1. Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, будут \(a\), \(aq\) и \(aq^2\).
2. Если от третьего числа отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Таким образом, числа будут \(a\), \(aq\) и \(aq^2 - 4\).
3. Для арифметической прогрессии выполняется условие \(aq - a = (aq^2 - 4) - aq\). Упростим это уравнение:
4. \[ aq - a = aq^2 - aq - 4 \]
5. Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
6. \[ aq - a - aq^2 + aq + 4 = 0 \]
7. Упростим уравнение:
8. \[ -aq^2 + 2aq - a + 4 = 0 \]
9. Теперь рассмотрим вторую часть условия: если от второго и третьего членов арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Таким образом, числа будут \(a\), \(aq - 1\) и \(aq^2 - 5\).
10. Для геометрической прогрессии выполняется условие \((aq - 1)^2 = a \cdot (aq^2 - 5)\). Упростим это уравнение:
11. \[ (aq - 1)^2 = a \cdot (aq^2 - 5) \]
12. Раскроем скобки и упростим:
13. \[ a^2q^2 - 2aq + 1 = a^2q^2 - 5a \]
14. Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
15. \[ a^2q^2 - 2aq + 1 - a^2q^2 + 5a = 0 \]
16. Упростим уравнение:
17. \[ -2aq + 1 + 5a = 0 \]
18. Сократим подобные члены:
19. \[ -2aq + 5a + 1 = 0 \]
20. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
21. \[ \begin{cases} -aq^2 + 2aq - a + 4 = 0 \\ -2aq + 5a + 1 = 0 \end{cases} \]
22. Решим эту систему уравнений. Для начала найдем \(q\) из второго уравнения:
23. \[ -2aq + 5a + 1 = 0 \]
24. Выразим \(q\):
25. \[ -2aq = -5a - 1 \]
26. \[ q = \frac{5a + 1}{2a} \]
27. Подставим \(q\) в первое уравнение:
28. \[ -a\left(\frac{5a + 1}{2a}\right)^2 + 2a\left(\frac{5a + 1}{2a}\right) - a + 4 = 0 \]
29. Упростим уравнение:
30. \[ -a\left(\frac{25a^2 + 10a + 1}{4a^2}\right) + 2a\left(\frac{5a + 1}{2a}\right) - a + 4 = 0 \]
31. \[ -\frac{25a^2 + 10a + 1}{4a} + \frac{10a + 2}{2} - a + 4 = 0 \]
32. Умножим все члены на \(4a\) для упрощения:
33. \[ -(25a^2 + 10a + 1) + 20a + 4a - 4a^2 + 16a = 0 \]
34. Упростим уравнение:
35. \[ -25a^2 - 10a - 1 + 20a + 4a - 4a^2 + 16a = 0 \]
36. Сократим подобные члены:
37. \[ -29a^2 + 30a - 1 = 0 \]
38. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
39. \[ D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot (-29) \cdot (-1) = 900 - 116 = 784 \]
40. Найдем корни уравнения:
41. \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot (-29)} = \frac{-30 \pm 28}{-58} \]
42. Получим два решения для \(a\):
43. \[ a_1 = \frac{-30 + 28}{-58} = \frac{-2}{-58} = \frac{1}{29} \]
44. \[ a_2 = \frac{-30 - 28}{-58} = \frac{-58}{-58} = 1 \]
45. Теперь найдем соответствующие значения \(q\):
46. Для \(a = 1\):
47. \[ q = \frac{5 \cdot 1 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]
48. Для \(a = \frac{1}{29}\):
49. \[ q = \frac{5 \cdot \frac{1}{29} + 1}{2 \cdot \frac{1}{29}} = \frac{\frac{5}{29} + 1}{\frac{2}{29}} = \frac{\frac{34}{29}}{\frac{2}{29}} = \frac{34}{2} = 17 \]
50. Таким образом, числа, удовлетворяющие условиям задачи, либо \((1, 3, 9)\), либо \((\frac{1}{29}, \frac{17}{29}, \frac{289}{29})\).

Ответ: {1;3;9, \frac{1}{9};\frac{7}{9};\frac{49}{9}}

Решение №17435: Для решения задачи найдем четыре числа \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\), которые удовлетворяют следующим условиям: 1. Первые три числа \(a\), \(b\), \(c\) составляют геометрическую прогрессию. 2. Последние три числа \(b\), \(c\), \(d\) составляют арифметическую прогрессию. 3. Сумма крайних чисел \(a + d = 21\). 4. Сумма средних чисел \(b + c = 18\). Выполним следующие шаги:

1. Запишем условия для геометрической прогрессии: \[ b = aq, \quad c = aq^2 \] где \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии.
2. Запишем условия для арифметической прогрессии: \[ c = b + r, \quad d = c + r \] где \(r\) — разность арифметической прогрессии.
3. Используем условие суммы средних чисел: \[ b + c = 18 \] Подставим \(b = aq\) и \(c = aq^2\): \[ aq + aq^2 = 18 \] Вынесем \(a\) за скобки: \[ a(q + q^2) = 18 \]
4. Используем условие суммы крайних чисел: \[ a + d = 21 \] Подставим \(d = c + r\) и \(c = aq^2\): \[ a + (aq^2 + r) = 21 \] Подставим \(r = c - b = aq^2 - aq\): \[ a + (aq^2 + (aq^2 - aq)) = 21 \] Упростим: \[ a + 2aq^2 - aq = 21 \] Вынесем \(a\) за скобки: \[ a(1 + 2q^2 - q) = 21 \]
5. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} a(q + q^2) = 18 \\ a(1 + 2q^2 - q) = 21 \end{cases} \] Разделим первое уравнение на \(a\): \[ q + q^2 = \frac{18}{a} \] Разделим второе уравнение на \(a\): \[ 1 + 2q^2 - q = \frac{21}{a} \] Решим систему: \[ \begin{cases} q + q^2 = \frac{18}{a} \\ 1 + 2q^2 - q = \frac{21}{a} \end{cases} \] Вычтем первое уравнение из второго: \[ 1 + 2q^2 - q - (q + q^2) = \frac{21}{a} - \frac{18}{a} \] Упростим: \[ 1 + q^2 - 2q = \frac{3}{a} \] Подставим \(q + q^2 = \frac{18}{a}\) в это уравнение: \[ 1 + \frac{18}{a} - 2q = \frac{3}{a} \] Умножим на \(a\): \[ a + 18 - 2aq = 3 \] Решим относительно \(q\): \[ 18 - 2aq = 3 - a \] \[ 2aq = 15 - a \] \[ q = \frac{15 - a}{2a} \]
6. Подставим \(q\) обратно в уравнение \(q + q^2 = \frac{18}{a}\): \[ \frac{15 - a}{2a} + \left(\frac{15 - a}{2a}\right)^2 = \frac{18}{a} \] Умножим на \(a\): \[ \frac{15 - a}{2} + \frac{(15 - a)^2}{4a} = 18 \] Умножим на 4: \[ 2(15 - a) + \frac{(15 - a)^2}{a} = 72 \] Умножим на \(a\): \[ 2a(15 - a) + (15 - a)^2 = 72a \] Решим квадратное уравнение: \[ 2a(15 - a) + (15 - a)^2 = 72a \] \[ 30a - 2a^2 + 225 - 30a + a^2 = 72a \] \[ -a^2 + 225 = 72a \] \[ a^2 + 72a - 225 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ a = \frac{-72 \pm \sqrt{72^2 + 4 \cdot 225}}{2} \] \[ a = \frac{-72 \pm \sqrt{5184 + 900}}{2} \] \[ a = \frac{-72 \pm \sqrt{6084}}{2} \] \[ a = \frac{-72 \pm 78}{2} \] \[ a = 3 \quad \text{или} \quad a = -75 \] Поскольку \(a\) должно быть положительным, выберем \(a = 3\).
7. Подставим \(a = 3\) в уравнение для \(q\): \[ q = \frac{15 - 3}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2 \]
8. Найдем \(b\), \(c\) и \(d\): \[ b = aq = 3 \cdot 2 = 6 \] \[ c = aq^2 = 3 \cdot 2^2 = 12 \] \[ d = c + r = 12 + (12 - 6) = 12 + 6 = 18 \]

Ответ: {3;6;12;18, 18,75;11,25;6,75;2,25}

Решение №17436: Для решения задачи о геометрической прогрессии, где сумма трех первых членов равна 91, и прибавление соответственно 25, 27 и 1 дает арифметическую прогрессию, выполним следующие шаги:

1. Пусть \(b_1\), \(b_2\) и \(b_3\) — первые три члена геометрической прогрессии. Тогда: \[ b_1 + b_2 + b_3 = 91 \]
2. Пусть \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда: \[ b_2 = b_1 q \quad \text{и} \quad b_3 = b_1 q^2 \]
3. Подставим \(b_2\) и \(b_3\) в уравнение суммы: \[ b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 91 \]
4. Вынесем \(b_1\) за скобки: \[ b_1 (1 + q + q^2) = 91 \]
5. Теперь рассмотрим условие, что прибавление 25, 27 и 1 к \(b_1\), \(b_2\) и \(b_3\) соответственно дает арифметическую прогрессию: \[ b_1 + 25, \quad b_1 q + 27, \quad b_1 q^2 + 1 \]
6. Для арифметрической прогрессии средний член равен полусумме крайних членов: \[ b_1 q + 27 = \frac{(b_1 + 25) + (b_1 q^2 + 1)}{2} \]
7. Упростим уравнение: \[ b_1 q + 27 = \frac{b_1 + 25 + b_1 q^2 + 1}{2} \] \[ b_1 q + 27 = \frac{b_1 + b_1 q^2 + 26}{2} \] \[ 2(b_1 q + 27) = b_1 + b_1 q^2 + 26 \] \[ 2b_1 q + 54 = b_1 + b_1 q^2 + 26 \] \[ 2b_1 q + 54 - 26 = b_1 + b_1 q^2 \] \[ 2b_1 q + 28 = b_1 + b_1 q^2 \] \[ b_1 q^2 - 2b_1 q - b_1 = -28 \] \[ b_1 (q^2 - 2q - 1) = -28 \]
8. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} b_1 (1 + q + q^2) = 91 \\ b_1 (q^2 - 2q - 1) = -28 \end{cases} \]
9. Решим систему уравнений. Разделим второе уравнение на первое: \[ \frac{q^2 - 2q - 1}{1 + q + q^2} = \frac{-28}{91} \] \[ \frac{q^2 - 2q - 1}{q^2 + q + 1} = -\frac{4}{13} \]
10. Решим уравнение: \[ 13(q^2 - 2q - 1) = -4(q^2 + q + 1) \] \[ 13q^2 - 26q - 13 = -4q^2 - 4q - 4 \] \[ 13q^2 + 4q^2 - 26q + 4q - 13 + 4 = 0 \] \[ 17q^2 - 22q - 9 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение: \[ q = \frac{22 \pm \sqrt{22^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-9)}}{2 \cdot 17} \] \[ q = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 612}}{34} \] \[ q = \frac{22 \pm \sqrt{1096}}{34} \] \[ q = \frac{22 \pm 33.1}{34} \] \[ q \approx 1.679 \quad \text{или} \quad q \approx -0.352 \]
12. Подставим \(q\) обратно в первое уравнение и решим для \(b_1\): \[ b_1 (1 + q + q^2) = 91 \]
13. Для \(q \approx 1.679\): \[ b_1 (1 + 1.679 + 1.679^2) = 91 \] \[ b_1 (1 + 1.679 + 2.819) = 91 \] \[ b_1 \cdot 5.498 = 91 \] \[ b_1 \approx 16.55 \]
14. Для \(q \approx -0.352\): \[ b_1 (1 - 0.352 + (-0.352)^2) = 91 \] \[ b_1 (1 - 0.352 + 0.124) = 91 \] \[ b_1 \cdot 0.772 = 91 \] \[ b_1 \approx 117.88 \]
15. Теперь найдем седьмой член геометрической прогрессии: \[ b_7 = b_1 q^6 \]
16. Для \(q \approx 1.679\): \[ b_7 \approx 16.55 \cdot 1.679^6 \] \[ b_7 \approx 16.55 \cdot 133.4 \] \[ b_7 \approx 2207 \]
17. Для \(q \approx -0.352\): \[ b_7 \approx 117.88 \cdot (-0.352)^6 \] \[ b_7 \approx 117.88 \cdot 0.0015 \] \[ b_7 \approx 0.177 \]

Ответ: {5103, \frac{7}{81}}

Решение №17437: Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа. Решение:

1. Пусть три числа геометрической прогрессии обозначим как \(a\), \(aq\) и \(aq^2\), где \(a\) — первое число, а \(q\) — знаменатель прогрессии.
2. Если второе число увеличить на 2, то три числа образуют арифметическую прогрессию: \(a\), \(aq + 2\), \(aq^2\).
3. Для арифметрической прогрессии выполняется условие: \[ a + aq^2 = 2(aq + 2) \]
4. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ a + aq^2 = 2aq + 4 \] \[ a + aq^2 - 2aq = 4 \] \[ a(1 + q^2 - 2q) = 4 \]
5. Теперь, если увеличить последнее число на 9, то три числа снова образуют геометрическую прогрессию: \(a\), \(aq + 2\), \(aq^2 + 9\).
6. Для геометрической прогрессии выполняется условие: \[ (aq + 2)^2 = a(aq^2 + 9) \]
7. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ a^2q^2 + 4aq + 4 = a^2q^2 + 9a \] \[ 4aq + 4 = 9a \] \[ 4aq - 9a = -4 \] \[ a(4q - 9) = -4 \]
8. Теперь у нас есть две системы уравнений: \[ \begin{cases} a(1 + q^2 - 2q) = 4 \\ a(4q - 9) = -4 \end{cases} \]
9. Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти \(q\): \[ \frac{a(4q - 9)}{a(1 + q^2 - 2q)} = \frac{-4}{4} \] \[ \frac{4q - 9}{1 + q^2 - 2q} = -1 \] \[ 4q - 9 = -1 - q^2 + 2q \] \[ q^2 - 2q + 4q - 9 + 1 = 0 \] \[ q^2 + 2q - 8 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение: \[ q^2 + 2q - 8 = 0 \] Найдем корни уравнения: \[ q = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ q = \frac{-2 \pm 6}{2} \] \[ q = 2 \quad \text{или} \quad q = -4 \]
11. Подставим \(q = 2\) в первое уравнение: \[ a(1 + 2^2 - 2 \cdot 2) = 4 \] \[ a(1 + 4 - 4) = 4 \] \[ a \cdot 1 = 4 \] \[ a = 4 \]
12. Подставим \(q = -4\) в первое уравнение: \[ a(1 + (-4)^2 - 2 \cdot (-4)) = 4 \] \[ a(1 + 16 + 8) = 4 \] \[ a \cdot 25 = 4 \] \[ a = \frac{4}{25} \]
13. Таким образом, у нас есть два решения: \( (a, aq, aq^2) = (4, 8, 16) \) и \( (a, aq, aq^2) = \left(\frac{4}{25}, -\frac{16}{25}, \frac{64}{25}\right) \).

Ответ: {4;8;16, \frac{4}{25};-\frac{16}{25};\frac{64}{25}}

Решение №17438: Для решения задачи найти три числа, образующих геометрическую прогрессию, если известно, что их произведение равно 64, а их среднее арифметическое равно \(\frac{14}{3}\), выполним следующие шаги:

1. Обозначим три числа геометрической прогрессии как \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\). Пусть \(a_2 = b\) — средний член прогрессии, а \(q\) — знаменатель прогрессии. Тогда \(a_1 = \frac{b}{q}\) и \(a_3 = bq\).
2. Запишем условие на произведение чисел: \[ a_1 \cdot a_2 \cdot a_3 = 64 \] Подставим выражения для \(a_1\) и \(a_3\): \[ \frac{b}{q} \cdot b \cdot bq = 64 \] Упростим выражение: \[ b^3 = 64 \] Найдем \(b\): \[ b = \sqrt[3]{64} = 4 \]
3. Запишем условие на среднее арифметическое: \[ \frac{a_1 + a_2 + a_3}{3} = \frac{14}{3} \] Умножим обе части на 3: \[ a_1 + a_2 + a_3 = 14 \] Подставим выражения для \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\): \[ \frac{b}{q} + b + bq = 14 \] Подставим \(b = 4\): \[ \frac{4}{q} + 4 + 4q = 14 \] Упростим уравнение: \[ \frac{4}{q} + 4q = 10 \] Умножим обе части на \(q\): \[ 4 + 4q^2 = 10q \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ 4q^2 - 10q + 4 = 0 \] Решим квадратное уравнение: \[ q = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 64}}{8} = \frac{10 \pm 6}{8} \] Найдем корни: \[ q = \frac{16}{8} = 2 \quad \text{или} \quad q = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
4. Подставим найденные значения \(q\) и \(b\) в выражения для \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\):
   • Для \(q = 2\): \[ a_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad a_2 = 4, \quad a_3 = 4 \cdot 2 = 8 \]
   • Для \(q = \frac{1}{2}\): \[ a_1 = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8, \quad a_2 = 4, \quad a_3 = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \]

Ответ: 2;4;8

Решение №17439: Для решения задачи о трех числах, образующих геометрическую и арифметическую прогрессии, выполним следующие шаги:

1. Обозначим три числа как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(c = 12\) для геометрической прогрессии и \(c = 9\) для арифметической прогрессии.
2. Для геометрической прогрессии запишем условие: \[ b^2 = a \cdot c \] Подставим \(c = 12\): \[ b^2 = a \cdot 12 \]
3. Для арифметической прогрессии запишем условие: \[ 2b = a + c \] Подставим \(c = 9\): \[ 2b = a + 9 \]
4. Теперь имеем систему уравнений: \[ \begin{cases} b^2 = 12a \\ 2b = a + 9 \end{cases} \]
5. Выразим \(a\) из второго уравнения: \[ a = 2b - 9 \]
6. Подставим \(a = 2b - 9\) в первое уравнение: \[ b^2 = 12(2b - 9) \]
7. Упростим уравнение: \[ b^2 = 24b - 108 \]
8. Перенесем все члены в одну сторону: \[ b^2 - 24b + 108 = 0 \]
9. Решим квадратное уравнение: \[ b = \frac{24 \pm \sqrt{24^2 - 4 \cdot 108}}{2} \] \[ b = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 432}}{2} \] \[ b = \frac{24 \pm \sqrt{144}}{2} \] \[ b = \frac{24 \pm 12}{2} \] \[ b = 18 \quad \text{или} \quad b = 6 \]
10. Подставим найденные значения \(b\) в \(a = 2b - 9\): - Для \(b = 18\): \[ a = 2 \cdot 18 - 9 = 27 \] - Для \(b = 6\): \[ a = 2 \cdot 6 - 9 = 3 \]
11. Таким образом, имеем два набора чисел: - Для \(b = 18\): \(a = 27\), \(b = 18\), \(c = 12\) - Для \(b = 6\): \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 12\)
12. Проверим, что эти числа образуют геометрическую прогрессию: - Для \(a = 27\), \(b = 18\), \(c = 12\): \[ b^2 = 18^2 = 324 \quad \text{и} \quad a \cdot c = 27 \cdot 12 = 324 \] - Для \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 12\): \[ b^2 = 6^2 = 36 \quad \text{и} \quad a \cdot c = 3 \cdot 12 = 36 \]
13. Проверим, что эти числа образуют арифметическую прогрессию, если \(c = 9\): - Для \(a = 27\), \(b = 18\), \(c = 9\): \[ 2b = 2 \cdot 18 = 36 \quad \text{и} \quad a + c = 27 + 9 = 36 \] - Для \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 9\): \[ 2b = 2 \cdot 6 = 12 \quad \text{и} \quad a + c = 3 + 9 = 12 \]

Ответ: {3;6;12, 27;18;12}

Решение №17440: Для решения задачи о нахождении знаменателя геометрической прогрессии, образованной произведениями первого члена на второй, второго на третий и третьего на первый, выполним следующие шаги:

1. Пусть \(a_1, a_2, a_3\) — первые три члена арифметической прогрессии с разностью \(d \neq 0\). Тогда: \[ a_2 = a_1 + d, \quad a_3 = a_1 + 2d \]
2. Числа, равные произведениям первого члена на второй, второго на третий и третьего на первый, будут: \[ a_1 \cdot a_2, \quad a_2 \cdot a_3, \quad a_3 \cdot a_1 \]
3. Эти числа образуют геометрическую прогрессию. Для геометрической прогрессии справедливо равенство: \[ \frac{a_2 \cdot a_3}{a_1 \cdot a_2} = \frac{a_3 \cdot a_1}{a_2 \cdot a_3} \]
4. Упростим выражения: \[ \frac{a_3}{a_1} = \frac{a_1}{a_2} \]
5. Подставим значения \(a_2\) и \(a_3\): \[ \frac{a_1 + 2d}{a_1} = \frac{a_1}{a_1 + d} \]
6. Перемножим числители и знаменатели: \[ (a_1 + 2d) \cdot (a_1 + d) = a_1^2 \]
7. Раскроем скобки: \[ a_1^2 + 3a_1d + 2d^2 = a_1^2 \]
8. Отнимем \(a_1^2\) от обеих частей уравнения: \[ 3a_1d + 2d^2 = 0 \]
9. Вынесем \(d\) за скобку: \[ d(3a_1 + 2d) = 0 \]
10. Поскольку \(d \neq 0\), то: \[ 3a_1 + 2d = 0 \]
11. Решим уравнение относительно \(d\): \[ 2d = -3a_1 \implies d = -\frac{3a_1}{2} \]
12. Таким образом, разность арифметической прогрессии \(d\) равна: \[ d = -\frac{3a_1}{2} \]

Ответ: -2

Решение №17441: Для решения задачи о трехзначном числе, цифры которого образуют геометрическую прогрессию, и удовлетворяющего указанным условиям, выполним следующие шаги:

1. Пусть трехзначное число \( \overline{abc} \), где \( a, b, c \) — цифры, образующие геометрическую прогрессию. Тогда \( b = aq \) и \( c = aq^2 \), где \( q \) — знаменатель прогрессии.
2. Условие задачи: \( \overline{abc} - 792 = \overline{cba} \).
3. Запишем числа \( \overline{abc} \) и \( \overline{cba} \) в десятичной системе: \[ \overline{abc} = 100a + 10b + c \] \[ \overline{cba} = 100c + 10b + a \]
4. Подставим эти выражения в условие задачи: \[ 100a + 10b + c - 792 = 100c + 10b + a \]
5. Упростим уравнение: \[ 100a + c - 792 = 100c + a \] \[ 99a - 99c = 792 \] \[ a - c = 8 \]
6. Теперь рассмотрим условие, что если из цифры \( a \) вычесть 4, то цифры образуют арифметическую прогрессию. Пусть \( a - 4 \), \( b \), \( c \) образуют арифметическую прогрессию с разностью \( d \): \[ b - (a - 4) = c - b \] \[ b - a + 4 = c - b \] \[ 2b = a + c - 4 \]
7. Подставим \( b = aq \) и \( c = aq^2 \) в выражение: \[ 2aq = a + aq^2 - 4 \] \[ 2aq = a(1 + q^2) - 4 \] \[ 2aq = a + aq^2 - 4 \]
8. Решим систему уравнений: \[ a - c = 8 \] \[ 2aq = a + aq^2 - 4 \]
9. Подставим \( c = aq^2 \) в первое уравнение: \[ a - aq^2 = 8 \] \[ a(1 - q^2) = 8 \]
10. Решим второе уравнение: \[ 2aq = a + aq^2 - 4 \] \[ 2aq = a(1 + q^2) - 4 \] \[ 2aq = a + aq^2 - 4 \]
11. Подставим \( a = 8/(1 - q^2) \) в последнее уравнение и решим его относительно \( q \): \[ 2 \left(\frac{8}{1 - q^2}\right) q = \frac{8}{1 - q^2} + \frac{8}{1 - q^2} q^2 - 4 \] \[ \frac{16q}{1 - q^2} = \frac{8(1 + q^2)}{1 - q^2} - 4 \] \[ 16q = 8(1 + q^2) - 4(1 - q^2) \] \[ 16q = 8 + 8q^2 - 4 + 4q^2 \] \[ 16q = 4 + 12q^2 \] \[ 12q^2 - 16q + 4 = 0 \] \[ 3q^2 - 4q + 1 = 0 \]
12. Решим квадратное уравнение: \[ q = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6} \] \[ q = \frac{4 \pm 2}{6} \] \[ q = 1 \quad \text{или} \quad q = \frac{1}{3} \]
13. Подставим \( q = \frac{1}{3} \) в \( a = 8/(1 - q^2) \): \[ a = \frac{8}{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \frac{8}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{8}{\frac{8}{9}} = 9 \]
14. Найдем \( b \) и \( c \): \[ b = aq = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3 \] \[ c = aq^2 = 9 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \]
15. Таким образом, трехзначное число \( \overline{abc} = 931 \).

Ответ: 931

Решение №17442: Для решения задачи найдем сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, обладающей указанными свойствами.

1. Запишем условие задачи: Три первых члена геометрической прогрессии сумма которых равна \(\frac{148}{9}\), являются одновременно первым, четвертым и восьмым членами некоторой арифметической прогрессии.
2. Обозначим первый член геометрической прогрессии через \(b_1\), знаменатель геометрической прогрессии через \(q\). Тогда первые три члена геометрической прогрессии будут: \[ b_1, b_1 q, b_1 q^2 \]
3. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна \(\frac{148}{9}\): \[ b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = \frac{148}{9} \] Вынесем \(b_1\) за скобки: \[ b_1 (1 + q + q^2) = \frac{148}{9} \]
4. Обозначим первый член арифметической прогрессии через \(a_1\), разность арифметической прогрессии через \(d\). Тогда первый, четвертый и восьмой члены арифметической прогрессии будут: \[ a_1, a_1 + 3d, a_1 + 7d \]
5. Так как первый, четвертый и восьмой члены арифметической прогрессии совпадают с первыми тремя членами геометрической прогрессии, имеем: \[ b_1 = a_1, b_1 q = a_1 + 3d, b_1 q^2 = a_1 + 7d \]
6. Подставим \(b_1 = a_1\) и \(b_1 q = a_1 + 3d\) в уравнение: \[ a_1 q = a_1 + 3d \] Разделим обе части на \(a_1\): \[ q = 1 + \frac{3d}{a_1} \]
7. Подставим \(b_1 q^2 = a_1 + 7d\) в уравнение: \[ a_1 q^2 = a_1 + 7d \] Разделим обе части на \(a_1\): \[ q^2 = 1 + \frac{7d}{a_1} \]
8. Теперь у нас есть система уравнений: \[ q = 1 + \frac{3d}{a_1} \] \[ q^2 = 1 + \frac{7d}{a_1} \]
9. Подставим \(q = 1 + \frac{3d}{a_1}\) во второе уравнение: \[ \left(1 + \frac{3d}{a_1}\right)^2 = 1 + \frac{7d}{a_1} \] Раскроем скобки: \[ 1 + \frac{6d}{a_1} + \left(\frac{3d}{a_1}\right)^2 = 1 + \frac{7d}{a_1} \] Упростим: \[ \frac{6d}{a_1} + \frac{9d^2}{a_1^2} = \frac{7d}{a_1} \] Умножим обе части на \(a_1^2\): \[ 6d a_1 + 9d^2 = 7d a_1 \] Вычтем \(6d a_1\) из обеих частей: \[ 9d^2 = d a_1 \] Разделим на \(d\) (предполагаем \(d \neq 0\)): \[ 9d = a_1 \]
10. Теперь подставим \(a_1 = 9d\) в уравнение \(q = 1 + \frac{3d}{a_1}\): \[ q = 1 + \frac{3d}{9d} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
11. Подставим \(q = \frac{4}{3}\) в уравнение \(b_1 (1 + q + q^2) = \frac{148}{9}\): \[ b_1 \left(1 + \frac{4}{3} + \left(\frac{4}{3}\right)^2\right) = \frac{148}{9} \] Упростим: \[ b_1 \left(1 + \frac{4}{3} + \frac{16}{9}\right) = \frac{148}{9} \] \[ b_1 \left(\frac{3}{3} + \frac{4}{3} + \frac{16}{9}\right) = \frac{148}{9} \] \[ b_1 \left(\frac{9}{9} + \frac{12}{9} + \frac{16}{9}\right) = \frac{148}{9} \] \[ b_1 \left(\frac{37}{9}\right) = \frac{148}{9} \] Умножим обе части на \(\frac{9}{37}\): \[ b_1 = \frac{148}{37} \]
12. Найдем сумму первых четырех членов геометрической прогрессии: \[ S_4 = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + b_1 q^3 \] Подставим \(b_1 = \frac{148}{37}\) и \(q = \frac{4}{3}\): \[ S_4 = \frac{148}{37} + \frac{148}{37} \cdot \frac{4}{3} + \frac{148}{37} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{148}{37} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3 \] Упростим: \[ S_4 = \frac{148}{37} \left(1 + \frac{4}{3} + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^3\right) \] \[ S_4 = \frac{148}{37} \left(1 + \frac{4}{3} + \frac{16}{9} + \frac{64}{27}\right) \] \[ S_4 = \frac{148}{37} \left(\frac{27}{27} + \frac{36}{27} + \frac{48}{27} + \frac{64}{27}\right) \] \[ S_4 = \frac{148}{37} \left(\frac{175}{27}\right) \] \[ S_4 = \frac{148 \cdot 175}{37 \cdot 27} \] \[ S_4 = \frac{25900}{999} \]

Ответ: 25\frac{25}{27}

Решение №17443: Для решения задачи найдём \( x \) из условия \(\log_{x}b_{n} - a_{n} = \log_{x}b_{1} - a_{1}\), где \( b_n \) — члены геометрической прогрессии с знаменателем \( q \), а \( a_n \) — члены возрастающей арифметической прогрессии с разностью \( d \).

1. Запишем условие задачи: \[ \log_{x}b_{n} - a_{n} = \log_{x}b_{1} - a_{1} \]
2. Выразим \( b_n \) и \( a_n \) через \( b_1 \) и \( a_1 \): \[ b_n = b_1 q^{n-1} \] \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
3. Подставим \( b_n \) и \( a_n \) в уравнение: \[ \log_{x}(b_1 q^{n-1}) - (a_1 + (n-1)d) = \log_{x}b_{1} - a_{1} \]
4. Используем свойства логарифмов: \[ \log_{x}(b_1 q^{n-1}) = \log_{x}b_1 + \log_{x}q^{n-1} \] \[ \log_{x}q^{n-1} = (n-1)\log_{x}q \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \log_{x}b_1 + (n-1)\log_{x}q - a_1 - (n-1)d = \log_{x}b_1 - a_1 \]
5. Сократим одинаковые члены \(\log_{x}b_1\) и \(a_1\) в обеих частях уравнения: \[ (n-1)\log_{x}q - (n-1)d = 0 \]
6. Вынесем общий множитель \((n-1)\): \[ (n-1)(\log_{x}q - d) = 0 \]
7. Поскольку \(n \neq 1\), получаем: \[ \log_{x}q - d = 0 \] \[ \log_{x}q = d \]
8. Из уравнения \(\log_{x}q = d\) следует: \[ q = x^d \]
9. Решим уравнение \(q = x^d\): \[ x = \sqrt[d]{q} \]

Ответ: x=q^{1/d}

Решение №17444: Для решения задачи о нахождении четырех чисел, образующих геометрическую прогрессию, где сумма крайних членов равна 49, а сумма средних членов равна 14, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи: \[ \begin{cases} b_1 + b_4 = 49 \\ b_2 + b_3 = 14 \end{cases} \]
2. Выразим члены геометрической прогрессии через первый член \(b_1\) и знаменатель \(q\): \[ \begin{cases} b_1 + b_1 q^3 = 49 \\ b_1 q + b_1 q^2 = 14 \end{cases} \]
3. Упростим систему уравнений: \[ \begin{cases} b_1 (1 + q^3) = 49 \\ b_1 q (1 + q) = 14 \end{cases} \]
4. Разделим второе уравнение на первое: \[ \frac{b_1 q (1 + q)}{b_1 (1 + q^3)} = \frac{14}{49} \]
5. Упростим выражение: \[ \frac{q (1 + q)}{1 + q^3} = \frac{14}{49} \]
6. Умножим обе части уравнения на \(1 + q^3\): \[ q (1 + q) = \frac{14}{49} (1 + q^3) \]
7. Раскроем скобки и перенесем все члены в одну сторону: \[ 49q (1 + q) = 14 (1 + q^3) \] \[ 49q + 49q^2 = 14 + 14q^3 \] \[ 49q + 49q^2 - 14q^3 = 14 \]
8. Решим полученное кубическое уравнение: \[ 14q^3 - 49q^2 - 49q + 14 = 0 \]
9. Подставим возможные значения \(q\) и проверим: \[ q = \frac{1}{2} \]
10. Подставим \(q = \frac{1}{2}\) в первое уравнение: \[ b_1 (1 + (\frac{1}{2})^3) = 49 \] \[ b_1 (1 + \frac{1}{8}) = 49 \] \[ b_1 \cdot \frac{9}{8} = 49 \] \[ b_1 = 49 \cdot \frac{8}{9} \] \[ b_1 = 44 \]
11. Найдем остальные члены прогрессии: \[ b_2 = b_1 q = 44 \cdot \frac{1}{2} = 22 \] \[ b_3 = b_1 q^2 = 44 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 11 \] \[ b_4 = b_1 q^3 = 44 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 5.5 \]

Ответ: 7;-14;28;-56

Решение №17445: Для решения задачи найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \( |q| < 1 \), сумма которой равна 1.6, а второй член равен -0.5, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Сумма бесконечной геометрической прогрессии \( S = 1.6 \).
   • Второй член прогрессии \( b_2 = -0.5 \).
   • Знаменатель прогрессии \( |q| < 1 \).
2. Выразим сумму бесконечной геометрической прогрессии через первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \): \[ S = \frac{b_1}{1 - q} \] Подставим значение суммы: \[ 1.6 = \frac{b_1}{1 - q} \]
3. Выразим второй член прогрессии через первый член и знаменатель: \[ b_2 = b_1 q \] Подставим значение второго члена: \[ -0.5 = b_1 q \]
4. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 1.6 = \frac{b_1}{1 - q} \\ -0.5 = b_1 q \end{cases} \]
5. Выразим \( b_1 \) из второго уравнения: \[ b_1 = \frac{-0.5}{q} \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ 1.6 = \frac{\frac{-0.5}{q}}{1 - q} \] Упростим: \[ 1.6 = \frac{-0.5}{q(1 - q)} \] Умножим обе части на \( q(1 - q) \): \[ 1.6 q(1 - q) = -0.5 \] Упростим: \[ 1.6 q - 1.6 q^2 = -0.5 \] Умножим все члены на 10 для удобства: \[ 16 q - 16 q^2 = -5 \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ 16 q^2 - 16 q - 5 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение: \[ 16 q^2 - 16 q - 5 = 0 \] Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим коэффициенты: \[ q = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-5)}}{2 \cdot 16} \] Упростим: \[ q = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 320}}{32} \] \[ q = \frac{16 \pm \sqrt{576}}{32} \] \[ q = \frac{16 \pm 24}{32} \] Получаем два корня: \[ q_1 = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}, \quad q_2 = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4} \] Поскольку \( |q| < 1 \), выбираем \( q = -\frac{1}{4} \).
7. Найдем первый член \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{-0.5}{q} = \frac{-0.5}{-\frac{1}{4}} = 2 \]
8. Найдем третий член прогрессии \( b_3 \): \[ b_3 = b_1 q^2 = 2 \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8} \]

Ответ: \frac{1}{8}

Решение №17446: Для решения задачи найти три первых члена бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \(|q| < 1\), сумма которой равна 6, а сумма пяти первых членов равна \(\frac{93}{16}\), выполним следующие шаги:

1. Запишем условия задачи: \[ S_{\infty} = 6, \quad S_5 = \frac{93}{16} \] где \(S_{\infty}\) — сумма бесконечной геометрической прогрессии, \(S_5\) — сумма первых пяти членов прогрессии.
2. Используем формулу суммы бесконечной геометрической прогрессии: \[ S_{\infty} = \frac{b_1}{1 - q} \] Подставим значение \(S_{\infty}\): \[ 6 = \frac{b_1}{1 - q} \]
3. Используем формулу суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии для \(n = 5\): \[ S_5 = b_1 \frac{1 - q^5}{1 - q} \] Подставим значение \(S_5\): \[ \frac{93}{16} = b_1 \frac{1 - q^5}{1 - q} \]
4. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 6 = \frac{b_1}{1 - q} \\ \frac{93}{16} = b_1 \frac{1 - q^5}{1 - q} \end{cases} \]
5. Из первого уравнения найдем \(b_1\): \[ b_1 = 6(1 - q) \]
6. Подставим \(b_1\) во второе уравнение: \[ \frac{93}{16} = 6(1 - q) \frac{1 - q^5}{1 - q} \] Упростим уравнение: \[ \frac{93}{16} = 6(1 - q^5) \] \[ \frac{93}{16} = 6 - 6q^5 \] \[ 6q^5 = 6 - \frac{93}{16} \] \[ 6q^5 = \frac{96}{16} - \frac{93}{16} \] \[ 6q^5 = \frac{3}{16} \] \[ q^5 = \frac{3}{96} \] \[ q^5 = \frac{1}{32} \] \[ q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} \] \[ q = \frac{1}{2} \]
7. Подставим \(q = \frac{1}{2}\) в уравнение для \(b_1\): \[ b_1 = 6 \left(1 - \frac{1}{2}\right) \] \[ b_1 = 6 \cdot \frac{1}{2} \] \[ b_1 = 3 \]
8. Найдем первые три члена прогрессии: \[ b_1 = 3 \] \[ b_2 = b_1 \cdot q = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \] \[ b_3 = b_2 \cdot q = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \]

Ответ: 3;\frac{3}{2};\frac{3}{4}

Решение №17447: Для решения задачи нахождения четырех чисел, образующих геометрическую прогрессию, где второй член меньше первого на 35, а третий больше четвертого на 560, выполним следующие шаги:

1. Обозначим члены геометрической прогрессии как \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) и \(a_4\), где \(a_1\) - первый член, а \(q\) - знаменатель прогрессии. Тогда:
\[ a_2 = a_1 q, \quad a_3 = a_1 q^2, \quad a_4 = a_1 q^3 \]
2. Составим систему уравнений на основе условий задачи:
\[ \begin{cases} a_2 = a_1 - 35 \\ a_3 = a_4 + 560 \end{cases} \]
3. Подставим выражения для \(a_2\) и \(a_3\) через \(a_1\) и \(q\):
\[ \begin{cases} a_1 q = a_1 - 35 \\ a_1 q^2 = a_1 q^3 + 560 \end{cases} \]
4. Решим первое уравнение относительно \(a_1\):
\[ a_1 q = a_1 - 35 \implies a_1 (q - 1) = -35 \implies a_1 = \frac{-35}{q - 1} \]
5. Подставим \(a_1\) во второе уравнение:
\[ a_1 q^2 = a_1 q^3 + 560 \implies \frac{-35 q^2}{q - 1} = \frac{-35 q^3}{q - 1} + 560 \]
6. Умножим обе части уравнения на \(q - 1\):
\[ -35 q^2 = -35 q^3 + 560 (q - 1) \]
7. Раскроем скобки и приведем подобные члены:
\[ -35 q^2 = -35 q^3 + 560 q - 560 \] \[ 35 q^3 - 35 q^2 - 560 q + 560 = 0 \]
8. Разделим все члены уравнения на 35:
\[ q^3 - q^2 - 16 q + 16 = 0 \]
9. Решим кубическое уравнение \(q^3 - q^2 - 16 q + 16 = 0\). Для этого можно использовать метод подбора или численные методы. Один из корней этого уравнения \(q = 4\).
10. Подставим \(q = 4\) обратно в выражение для \(a_1\):
\[ a_1 = \frac{-35}{4 - 1} = \frac{-35}{3} = -\frac{35}{3} \]
11. Найдем остальные члены прогрессии:
\[ a_2 = a_1 q = -\frac{35}{3} \cdot 4 = -\frac{140}{3} \] \[ a_3 = a_1 q^2 = -\frac{35}{3} \cdot 4^2 = -\frac{35}{3} \cdot 16 = -\frac{560}{3} \] \[ a_4 = a_1 q^3 = -\frac{35}{3} \cdot 4^3 = -\frac{35}{3} \cdot 64 = -\frac{2240}{3} \]
12. Таким образом, четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, равны:
\[ a_1 = -\frac{35}{3}, \quad a_2 = -\frac{140}{3}, \quad a_3 = -\frac{560}{3}, \quad a_4 = -\frac{2240}{3} \]

Ответ: {7;-28;112;-448, -11\frac{2}{3};-46\frac{2}{3};-186\frac{2}{3};-746\frac{2}{3}}

Решение №17448: Для решения задачи найдем четыре числа, образующих геометрическую прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18. Обозначим члены геометрической прогрессии через \(a_1, a_2, a_3, a_4\) и деноминацию через \(q\).

1. Запишем члены геометрической прогрессии: \[ a_1, a_2 = a_1 q, a_3 = a_1 q^2, a_4 = a_1 q^3 \]
2. Составим уравнения на основе условий задачи: \[ a_3 = a_1 + 9 \quad \text{и} \quad a_2 = a_4 + 18 \]
3. Подставим выражения для \(a_3\) и \(a_4\) из геометрической прогрессии: \[ a_1 q^2 = a_1 + 9 \] \[ a_1 q = a_1 q^3 + 18 \]
4. Разделим первое уравнение на \(a_1\) (предполагая \(a_1 \neq 0\)): \[ q^2 = 1 + \frac{9}{a_1} \]
5. Разделим второе уравнение на \(a_1\) (предполагая \(a_1 \neq 0\)): \[ q = q^3 + \frac{18}{a_1} \]
6. Упростим второе уравнение: \[ q - q^3 = \frac{18}{a_1} \]
7. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} q^2 = 1 + \frac{9}{a_1} \\ q - q^3 = \frac{18}{a_1} \end{cases} \]
8. Решим первое уравнение относительно \(a_1\): \[ a_1 = \frac{9}{q^2 - 1} \]
9. Подставим выражение для \(a_1\) во второе уравнение: \[ q - q^3 = \frac{18}{\frac{9}{q^2 - 1}} \] \[ q - q^3 = 2 \cdot \frac{q^2 - 1}{1} \] \[ q - q^3 = 2(q^2 - 1) \] \[ q - q^3 = 2q^2 - 2 \] \[ q^3 - 2q^2 + q + 2 = 0 \]
10. Решим кубическое уравнение \(q^3 - 2q^2 + q + 2 = 0\): \[ (q - 2)(q^2 + 1) = 0 \]
11. Найдем корни уравнения: \[ q = 2 \quad \text{или} \quad q^2 + 1 = 0 \quad (\text{не имеет реальных решений}) \]
12. Подставим \(q = 2\) в выражение для \(a_1\): \[ a_1 = \frac{9}{2^2 - 1} = \frac{9}{3} = 3 \]
13. Найдем остальные члены прогрессии: \[ a_2 = a_1 q = 3 \cdot 2 = 6 \] \[ a_3 = a_1 q^2 = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12 \] \[ a_4 = a_1 q^3 = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24 \]
14. Таким образом, четыре числа, образующие геометрическую прогрессию, равны: \[ 3, 6, 12, 24 \]

Ответ: 3;-6;12;-24