Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Найти сумму \(\left(2+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(4+\frac{1}{4}\right)^{2}+...+\left (2^{n}+\frac{1}{2^{n}} \right)^{2}\)

Ответ

2n+\frac{(4^{n}-1)(4^{n+1}+1)}{3\cdot 4^{n}}

Решение № 17428:

Для решения задачи найти сумму \(\left(2+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(4+\frac{1}{4}\right)^{2}+...+\left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2}\) выполним следующие шаги:

1. Запишем сумму в общем виде: \[ S = \left(2+\frac{1}{2}\right)^{2} + \left(4+\frac{1}{4}\right)^{2} + \ldots + \left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2} \]
2. Развернем каждое слагаемое в сумме: \[ \left(2^{k} + \frac{1}{2^{k}}\right)^{2} = \left(2^{k}\right)^{2} + 2 \cdot 2^{k} \cdot \frac{1}{2^{k}} + \left(\frac{1}{2^{k}}\right)^{2} \] \[ = 4^{k} + 2 + \frac{1}{4^{k}} \]
3. Подставим развернутое выражение для каждого слагаемого: \[ S = \sum_{k=1}^{n} \left(4^{k} + 2 + \frac{1}{4^{k}}\right) \]
4. Разделим сумму на три части: \[ S = \sum_{k=1}^{n} 4^{k} + \sum_{k=1}^{n} 2 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}} \]
5. Вычислим каждую из частей отдельно:
   1. Сумма геометрической прогрессии для \(4^{k}\): \[ \sum_{k=1}^{n} 4^{k} = 4 + 4^{2} + 4^{3} + \ldots + 4^{n} \] Используем формулу суммы геометрической прогрессии: \[ \sum_{k=1}^{n} 4^{k} = 4 \cdot \frac{4^{n} - 1}{4 - 1} = \frac{4^{n+1} - 4}{3} \]
   2. Сумма постоянных слагаемых: \[ \sum_{k=1}^{n} 2 = 2n \]
   3. Сумма геометрической прогрессии для \(\frac{1}{4^{k}}\): \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \ldots + \frac{1}{4^{n}} \] Используем формулу суммы геометрической прогрессии: \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4^{k}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{4}\right)^{n}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{4^{n+1}}}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{4^{n}}\right) \]
6. Сложим все три части: \[ S = \frac{4^{n+1} - 4}{3} + 2n + \frac{1}{3} \left(1 - \frac{1}{4^{n}}\right) \]
7. Упростим окончательное выражение: \[ S = \frac{4^{n+1} - 4}{3} + 2n + \frac{1}{3} - \frac{1}{3 \cdot 4^{n}} \] \[ S = \frac{4^{n+1} - 3}{3} + 2n - \frac{1}{3 \cdot 4^{n}} \]

Таким образом, сумма \(\left(2+\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(4+\frac{1}{4}\right)^{2}+...+\left(2^{n}+\frac{1}{2^{n}}\right)^{2}\) равна: \[ \frac{4^{n+1} - 3}{3} + 2n - \frac{1}{3 \cdot 4^{n}} \] Ответ: \(\frac{4^{n+1} - 3}{3} + 2n - \frac{1}{3 \cdot 4^{n}}\)