Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Найти сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, обладающей тем свойством, что ее три первых члена, сумма которых равна \(\frac{148}{9}\), являются одновременно первым, четвертым и восьмым членами некоторой арифметической прогрессии.

Ответ

25\frac{25}{27}

Решение № 17442:

Для решения задачи найдем сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, обладающей указанными свойствами.

1. Запишем условие задачи: Три первых члена геометрической прогрессии сумма которых равна \(\frac{148}{9}\), являются одновременно первым, четвертым и восьмым членами некоторой арифметической прогрессии.
2. Обозначим первый член геометрической прогрессии через \(b_1\), знаменатель геометрической прогрессии через \(q\). Тогда первые три члена геометрической прогрессии будут: \[ b_1, b_1 q, b_1 q^2 \]
3. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна \(\frac{148}{9}\): \[ b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = \frac{148}{9} \] Вынесем \(b_1\) за скобки: \[ b_1 (1 + q + q^2) = \frac{148}{9} \]
4. Обозначим первый член арифметической прогрессии через \(a_1\), разность арифметической прогрессии через \(d\). Тогда первый, четвертый и восьмой члены арифметической прогрессии будут: \[ a_1, a_1 + 3d, a_1 + 7d \]
5. Так как первый, четвертый и восьмой члены арифметической прогрессии совпадают с первыми тремя членами геометрической прогрессии, имеем: \[ b_1 = a_1, b_1 q = a_1 + 3d, b_1 q^2 = a_1 + 7d \]
6. Подставим \(b_1 = a_1\) и \(b_1 q = a_1 + 3d\) в уравнение: \[ a_1 q = a_1 + 3d \] Разделим обе части на \(a_1\): \[ q = 1 + \frac{3d}{a_1} \]
7. Подставим \(b_1 q^2 = a_1 + 7d\) в уравнение: \[ a_1 q^2 = a_1 + 7d \] Разделим обе части на \(a_1\): \[ q^2 = 1 + \frac{7d}{a_1} \]
8. Теперь у нас есть система уравнений: \[ q = 1 + \frac{3d}{a_1} \] \[ q^2 = 1 + \frac{7d}{a_1} \]
9. Подставим \(q = 1 + \frac{3d}{a_1}\) во второе уравнение: \[ \left(1 + \frac{3d}{a_1}\right)^2 = 1 + \frac{7d}{a_1} \] Раскроем скобки: \[ 1 + \frac{6d}{a_1} + \left(\frac{3d}{a_1}\right)^2 = 1 + \frac{7d}{a_1} \] Упростим: \[ \frac{6d}{a_1} + \frac{9d^2}{a_1^2} = \frac{7d}{a_1} \] Умножим обе части на \(a_1^2\): \[ 6d a_1 + 9d^2 = 7d a_1 \] Вычтем \(6d a_1\) из обеих частей: \[ 9d^2 = d a_1 \] Разделим на \(d\) (предполагаем \(d \neq 0\)): \[ 9d = a_1 \]
10. Теперь подставим \(a_1 = 9d\) в уравнение \(q = 1 + \frac{3d}{a_1}\): \[ q = 1 + \frac{3d}{9d} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \]
11. Подставим \(q = \frac{4}{3}\) в уравнение \(b_1 (1 + q + q^2) = \frac{148}{9}\): \[ b_1 \left(1 + \frac{4}{3} + \left(\frac{4}{3}\right)^2\right) = \frac{148}{9} \] Упростим: \[ b_1 \left(1 + \frac{4}{3} + \frac{16}{9}\right) = \frac{148}{9} \] \[ b_1 \left(\frac{3}{3} + \frac{4}{3} + \frac{16}{9}\right) = \frac{148}{9} \] \[ b_1 \left(\frac{9}{9} + \frac{12}{9} + \frac{16}{9}\right) = \frac{148}{9} \] \[ b_1 \left(\frac{37}{9}\right) = \frac{148}{9} \] Умножим обе части на \(\frac{9}{37}\): \[ b_1 = \frac{148}{37} \]
12. Найдем сумму первых четырех членов геометрической прогрессии: \[ S_4 = b_1 + b_1 q + b_1 q^2 + b_1 q^3 \] Подставим \(b_1 = \frac{148}{37}\) и \(q = \frac{4}{3}\): \[ S_4 = \frac{148}{37} + \frac{148}{37} \cdot \frac{4}{3} + \frac{148}{37} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \frac{148}{37} \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^3 \] Упростим: \[ S_4 = \frac{148}{37} \left(1 + \frac{4}{3} + \left(\frac{4}{3}\right)^2 + \left(\frac{4}{3}\right)^3\right) \] \[ S_4 = \frac{148}{37} \left(1 + \frac{4}{3} + \frac{16}{9} + \frac{64}{27}\right) \] \[ S_4 = \frac{148}{37} \left(\frac{27}{27} + \frac{36}{27} + \frac{48}{27} + \frac{64}{27}\right) \] \[ S_4 = \frac{148}{37} \left(\frac{175}{27}\right) \] \[ S_4 = \frac{148 \cdot 175}{37 \cdot 27} \] \[ S_4 = \frac{25900}{999} \]

Таким образом, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна \(\frac{25900}{999}\).