Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем |q| < 1, сумма которой равна 1.6, а второй член равен -0,5.

Ответ

\frac{1}{8}

Решение № 17445:

Для решения задачи найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем \( |q| < 1 \), сумма которой равна 1.6, а второй член равен -0.5, выполним следующие шаги:

1. Запишем условие задачи:
   • Сумма бесконечной геометрической прогрессии \( S = 1.6 \).
   • Второй член прогрессии \( b_2 = -0.5 \).
   • Знаменатель прогрессии \( |q| < 1 \).
2. Выразим сумму бесконечной геометрической прогрессии через первый член \( b_1 \) и знаменатель \( q \): \[ S = \frac{b_1}{1 - q} \] Подставим значение суммы: \[ 1.6 = \frac{b_1}{1 - q} \]
3. Выразим второй член прогрессии через первый член и знаменатель: \[ b_2 = b_1 q \] Подставим значение второго члена: \[ -0.5 = b_1 q \]
4. Решим систему уравнений: \[ \begin{cases} 1.6 = \frac{b_1}{1 - q} \\ -0.5 = b_1 q \end{cases} \]
5. Выразим \( b_1 \) из второго уравнения: \[ b_1 = \frac{-0.5}{q} \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ 1.6 = \frac{\frac{-0.5}{q}}{1 - q} \] Упростим: \[ 1.6 = \frac{-0.5}{q(1 - q)} \] Умножим обе части на \( q(1 - q) \): \[ 1.6 q(1 - q) = -0.5 \] Упростим: \[ 1.6 q - 1.6 q^2 = -0.5 \] Умножим все члены на 10 для удобства: \[ 16 q - 16 q^2 = -5 \] Перенесем все члены в одну сторону: \[ 16 q^2 - 16 q - 5 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение: \[ 16 q^2 - 16 q - 5 = 0 \] Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставим коэффициенты: \[ q = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-5)}}{2 \cdot 16} \] Упростим: \[ q = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 320}}{32} \] \[ q = \frac{16 \pm \sqrt{576}}{32} \] \[ q = \frac{16 \pm 24}{32} \] Получаем два корня: \[ q_1 = \frac{40}{32} = \frac{5}{4}, \quad q_2 = \frac{-8}{32} = -\frac{1}{4} \] Поскольку \( |q| < 1 \), выбираем \( q = -\frac{1}{4} \).
7. Найдем первый член \( b_1 \): \[ b_1 = \frac{-0.5}{q} = \frac{-0.5}{-\frac{1}{4}} = 2 \]
8. Найдем третий член прогрессии \( b_3 \): \[ b_3 = b_1 q^2 = 2 \left(-\frac{1}{4}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, третий член бесконечной геометрической прогрессии равен \( \frac{1}{8} \). Ответ: \( \frac{1}{8} \)