Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решить уравнение: \( \frac{1}{x}+x+x^{2}+...+x^{n}+...=\frac{7}{2}\), где |x| < 1.

Ответ

\frac{1}{3};\frac{2}{3}

Решение № 17423:

Решение уравнения \( \frac{1}{x} + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots = \frac{7}{2} \), где \(|x| < 1\), выполним следующими шагами:

1. Запишем уравнение: \[ \frac{1}{x} + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots = \frac{7}{2} \]
2. Рассмотрим сумму бесконечной геометрической прогрессии \( x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots \). Сумма бесконечной геометрической прогрессии с первым членом \(a = x\) и знаменателем \(r = x\) при \(|x| < 1\) равна: \[ \sum_{n=1}^{\infty} x^n = \frac{x}{1-x} \]
3. Подставим сумму в уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{x}{1-x} = \frac{7}{2} \]
4. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{1}{x} + \frac{x}{1-x} = \frac{1-x+x}{x(1-x)} = \frac{1}{x(1-x)} \]
5. Приравняем к \(\frac{7}{2}\): \[ \frac{1}{x(1-x)} = \frac{7}{2} \]
6. Рассмотрим уравнение \(2 = 7x(1-x)\): \[ 2 = 7x - 7x^2 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону: \[ 7x^2 - 7x + 2 = 0 \]
8. Решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 7 \cdot 2}}{2 \cdot 7} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 56}}{14} = \frac{7 \pm \sqrt{-7}}{14} \]
9. Поскольку подкоренное выражение отрицательно, уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, уравнение \( \frac{1}{x} + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots = \frac{7}{2} \) не имеет действительных решений при \(|x| < 1\). Ответ: нет решений.