Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если от третьего отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Если же от второго и третьего членов полученной арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти эти числа.

Ответ

{1;3;9, \frac{1}{9};\frac{7}{9};\frac{49}{9}}

Решение № 17434:

Для решения задачи о трех числах, образующих геометрическую и арифметическую прогрессии, выполним следующие шаги:

1. Пусть три числа, образующие геометрическую прогрессию, будут \(a\), \(aq\) и \(aq^2\).
2. Если от третьего числа отнять 4, то числа составят арифметическую прогрессию. Таким образом, числа будут \(a\), \(aq\) и \(aq^2 - 4\).
3. Для арифметической прогрессии выполняется условие \(aq - a = (aq^2 - 4) - aq\). Упростим это уравнение:
4. \[ aq - a = aq^2 - aq - 4 \]
5. Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
6. \[ aq - a - aq^2 + aq + 4 = 0 \]
7. Упростим уравнение:
8. \[ -aq^2 + 2aq - a + 4 = 0 \]
9. Теперь рассмотрим вторую часть условия: если от второго и третьего членов арифметической прогрессии отнять по 1, то снова получится геометрическая прогрессия. Таким образом, числа будут \(a\), \(aq - 1\) и \(aq^2 - 5\).
10. Для геометрической прогрессии выполняется условие \((aq - 1)^2 = a \cdot (aq^2 - 5)\). Упростим это уравнение:
11. \[ (aq - 1)^2 = a \cdot (aq^2 - 5) \]
12. Раскроем скобки и упростим:
13. \[ a^2q^2 - 2aq + 1 = a^2q^2 - 5a \]
14. Перенесем все члены в одну сторону уравнения:
15. \[ a^2q^2 - 2aq + 1 - a^2q^2 + 5a = 0 \]
16. Упростим уравнение:
17. \[ -2aq + 1 + 5a = 0 \]
18. Сократим подобные члены:
19. \[ -2aq + 5a + 1 = 0 \]
20. Теперь у нас есть система из двух уравнений:
21. \[ \begin{cases} -aq^2 + 2aq - a + 4 = 0 \\ -2aq + 5a + 1 = 0 \end{cases} \]
22. Решим эту систему уравнений. Для начала найдем \(q\) из второго уравнения:
23. \[ -2aq + 5a + 1 = 0 \]
24. Выразим \(q\):
25. \[ -2aq = -5a - 1 \]
26. \[ q = \frac{5a + 1}{2a} \]
27. Подставим \(q\) в первое уравнение:
28. \[ -a\left(\frac{5a + 1}{2a}\right)^2 + 2a\left(\frac{5a + 1}{2a}\right) - a + 4 = 0 \]
29. Упростим уравнение:
30. \[ -a\left(\frac{25a^2 + 10a + 1}{4a^2}\right) + 2a\left(\frac{5a + 1}{2a}\right) - a + 4 = 0 \]
31. \[ -\frac{25a^2 + 10a + 1}{4a} + \frac{10a + 2}{2} - a + 4 = 0 \]
32. Умножим все члены на \(4a\) для упрощения:
33. \[ -(25a^2 + 10a + 1) + 20a + 4a - 4a^2 + 16a = 0 \]
34. Упростим уравнение:
35. \[ -25a^2 - 10a - 1 + 20a + 4a - 4a^2 + 16a = 0 \]
36. Сократим подобные члены:
37. \[ -29a^2 + 30a - 1 = 0 \]
38. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
39. \[ D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot (-29) \cdot (-1) = 900 - 116 = 784 \]
40. Найдем корни уравнения:
41. \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 \pm \sqrt{784}}{2 \cdot (-29)} = \frac{-30 \pm 28}{-58} \]
42. Получим два решения для \(a\):
43. \[ a_1 = \frac{-30 + 28}{-58} = \frac{-2}{-58} = \frac{1}{29} \]
44. \[ a_2 = \frac{-30 - 28}{-58} = \frac{-58}{-58} = 1 \]
45. Теперь найдем соответствующие значения \(q\):
46. Для \(a = 1\):
47. \[ q = \frac{5 \cdot 1 + 1}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3 \]
48. Для \(a = \frac{1}{29}\):
49. \[ q = \frac{5 \cdot \frac{1}{29} + 1}{2 \cdot \frac{1}{29}} = \frac{\frac{5}{29} + 1}{\frac{2}{29}} = \frac{\frac{34}{29}}{\frac{2}{29}} = \frac{34}{2} = 17 \]
50. Таким образом, числа, удовлетворяющие условиям задачи, либо \((1, 3, 9)\), либо \((\frac{1}{29}, \frac{17}{29}, \frac{289}{29})\).

Ответ: \(1, 3, 9\) или \(\frac{1}{29}, \frac{17}{29}, \frac{289}{29}\).