Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Даны две прогрессии: геометрическая с положительными членами \(b_{n}\), (знаменатель равен q, где \(q\neq n\)) и возрастающая арифметическая с членами \(a_{n}\), (разность равна d). Найти x из условия \(log_{x}b_{n}-a_{n}=log_{x}b_{1}-a_{1}\)

Ответ

x=q^{1/d}

Решение № 17443:

Для решения задачи найдём \( x \) из условия \(\log_{x}b_{n} - a_{n} = \log_{x}b_{1} - a_{1}\), где \( b_n \) — члены геометрической прогрессии с знаменателем \( q \), а \( a_n \) — члены возрастающей арифметической прогрессии с разностью \( d \).

1. Запишем условие задачи: \[ \log_{x}b_{n} - a_{n} = \log_{x}b_{1} - a_{1} \]
2. Выразим \( b_n \) и \( a_n \) через \( b_1 \) и \( a_1 \): \[ b_n = b_1 q^{n-1} \] \[ a_n = a_1 + (n-1)d \]
3. Подставим \( b_n \) и \( a_n \) в уравнение: \[ \log_{x}(b_1 q^{n-1}) - (a_1 + (n-1)d) = \log_{x}b_{1} - a_{1} \]
4. Используем свойства логарифмов: \[ \log_{x}(b_1 q^{n-1}) = \log_{x}b_1 + \log_{x}q^{n-1} \] \[ \log_{x}q^{n-1} = (n-1)\log_{x}q \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ \log_{x}b_1 + (n-1)\log_{x}q - a_1 - (n-1)d = \log_{x}b_1 - a_1 \]
5. Сократим одинаковые члены \(\log_{x}b_1\) и \(a_1\) в обеих частях уравнения: \[ (n-1)\log_{x}q - (n-1)d = 0 \]
6. Вынесем общий множитель \((n-1)\): \[ (n-1)(\log_{x}q - d) = 0 \]
7. Поскольку \(n \neq 1\), получаем: \[ \log_{x}q - d = 0 \] \[ \log_{x}q = d \]
8. Из уравнения \(\log_{x}q = d\) следует: \[ q = x^d \]
9. Решим уравнение \(q = x^d\): \[ x = \sqrt[d]{q} \]

Таким образом, решение уравнения \(\log_{x}b_{n} - a_{n} = \log_{x}b_{1} - a_{1}\) есть \(x = \sqrt[d]{q}\). Ответ: \(x = \sqrt[d]{q}\)