Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Вычислить \((1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2})\).

Ответ

-20100

Решение № 17421:

Для решения задачи \((1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2})\) выполним следующие шаги:

1. Запишем выражение: \[ (1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2}) \]
2. Рассмотрим сумму квадратов нечётных чисел: \[ 1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2} \]
3. Рассмотрим сумму квадратов чётных чисел: \[ 2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2} \]
4. Заметим, что сумма квадратов чётных чисел можно представить как сумма квадратов чисел, каждое из которых равно \(2k\), где \(k\) - натуральное число: \[ 2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2} = 4(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}+...+100^{2}) \]
5. Перепишем выражение с учётом этого замечания: \[ (1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2}) - 4(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}+...+100^{2}) \]
6. Заметим, что сумма квадратов нечётных чисел можно представить как сумма квадратов чисел, каждое из которых равно \(2k-1\), где \(k\) - натуральное число: \[ 1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2} = \sum_{k=1}^{100} (2k-1)^{2} \]
7. Теперь перепишем выражение: \[ \sum_{k=1}^{100} (2k-1)^{2} - 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} \]
8. Раскроем квадрат в первой сумме: \[ \sum_{k=1}^{100} (4k^{2} - 4k + 1) - 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} \]
9. Разделим сумму на три части: \[ 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} - 4\sum_{k=1}^{100} k + \sum_{k=1}^{100} 1 - 4\sum_{k=1}^{100} k^{2} \]
10. Упростим выражение: \[ -4\sum_{k=1}^{100} k + \sum_{k=1}^{100} 1 \]
11. Вычислим суммы: \[ \sum_{k=1}^{100} k = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050 \] \[ \sum_{k=1}^{100} 1 = 100 \]
12. Подставим значения: \[ -4 \cdot 5050 + 100 = -20200 + 100 = -20100 \]

Таким образом, решение выражения \((1+3^{2}+5^{2}+...+(2n-1)^{2}+...+199^{2})-(2^{2}+4^{2}+6^{2}+...+(2n)^{2}+...+200^{2})\) равно \(-20100\). Ответ: \(-20100\)