Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность,  Арифметическая прогрессия, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на арифметическую прогрессию повышенной сложности, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 2

Информация о книге не найдена

Условие

Решить уравнение: \(2x+1+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+...=\frac{13}{6}\), где |x| < 1.

Ответ

\frac{1}{2};-\frac{7}{9}

Решение № 17422:

Для решения уравнения \(2x + 1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \ldots = \frac{13}{6}\), где \(|x| < 1\), выполним следующие шаги:

1. Запишем уравнение: \[ 2x + 1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \ldots = \frac{13}{6} \]
2. Разделим ряд на две части: \(1 + x^2 + x^4 + \ldots\) и \(2x - x^3 + x^5 - \ldots\): \[ 1 + x^2 + x^4 + \ldots + 2x - x^3 + x^5 - \ldots = \frac{13}{6} \]
3. Разложим каждую часть на бесконечные геометрические прогрессии. Первая часть: \[ 1 + x^2 + x^4 + \ldots \] Вторая часть: \[ 2x - x^3 + x^5 - \ldots \]
4. Найдем сумму первой геометрической прогрессии \(1 + x^2 + x^4 + \ldots\) с первым членом 1 и знаменателем \(x^2\): \[ \sum_{n=0}^{\infty} x^{2n} = \frac{1}{1 - x^2} \]
5. Найдем сумму второй геометрической прогрессии \(2x - x^3 + x^5 - \ldots\) с первым членом \(2x\) и знаменателем \(-x^2\): \[ \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot 2x^{2n+1} = \frac{2x}{1 + x^2} \]
6. Подставим найденные суммы в исходное уравнение: \[ \frac{1}{1 - x^2} + \frac{2x}{1 + x^2} = \frac{13}{6} \]
7. Найдем общее знаменатель для сложения дробей: \[ \frac{1(1 + x^2) + 2x(1 - x^2)}{(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{13}{6} \]
8. Упростим числитель: \[ \frac{1 + x^2 + 2x - 2x^3}{(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{13}{6} \]
9. Упростим числитель дальше: \[ \frac{1 + 2x + x^2 - 2x^3}{(1 - x^2)(1 + x^2)} = \frac{13}{6} \]
10. Упростим знаменатель: \[ \frac{1 + 2x + x^2 - 2x^3}{1 - x^4} = \frac{13}{6} \]
11. Умножим обе части уравнения на \(6(1 - x^4)\): \[ 6(1 + 2x + x^2 - 2x^3) = 13(1 - x^4) \]
12. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ 6 + 12x + 6x^2 - 12x^3 = 13 - 13x^4 \]
13. Перенесем все члены в одну сторону уравнения: \[ 13x^4 - 12x^3 + 6x^2 + 12x - 7 = 0 \]
14. Решим уравнение методом подбора или численными методами, учитывая, что \(|x| < 1\). Один из корней уравнения: \[ x = \frac{1}{2} \]

Таким образом, решение уравнения \(2x + 1 + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + \ldots = \frac{13}{6}\) есть \(x = \frac{1}{2}\). Ответ: \(\frac{1}{2}\)