Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим числам прибавить соответственно 25, 27 и 1, то получатся три числа, образующих арифметическую прогрессию. Найти седьмой член геометрической прогрессии.

Ответ

{5103, \frac{7}{81}}

Решение № 17436:

Для решения задачи о геометрической прогрессии, где сумма трех первых членов равна 91, и прибавление соответственно 25, 27 и 1 дает арифметическую прогрессию, выполним следующие шаги:

1. Пусть \(b_1\), \(b_2\) и \(b_3\) — первые три члена геометрической прогрессии. Тогда: \[ b_1 + b_2 + b_3 = 91 \]
2. Пусть \(q\) — знаменатель геометрической прогрессии. Тогда: \[ b_2 = b_1 q \quad \text{и} \quad b_3 = b_1 q^2 \]
3. Подставим \(b_2\) и \(b_3\) в уравнение суммы: \[ b_1 + b_1 q + b_1 q^2 = 91 \]
4. Вынесем \(b_1\) за скобки: \[ b_1 (1 + q + q^2) = 91 \]
5. Теперь рассмотрим условие, что прибавление 25, 27 и 1 к \(b_1\), \(b_2\) и \(b_3\) соответственно дает арифметическую прогрессию: \[ b_1 + 25, \quad b_1 q + 27, \quad b_1 q^2 + 1 \]
6. Для арифметрической прогрессии средний член равен полусумме крайних членов: \[ b_1 q + 27 = \frac{(b_1 + 25) + (b_1 q^2 + 1)}{2} \]
7. Упростим уравнение: \[ b_1 q + 27 = \frac{b_1 + 25 + b_1 q^2 + 1}{2} \] \[ b_1 q + 27 = \frac{b_1 + b_1 q^2 + 26}{2} \] \[ 2(b_1 q + 27) = b_1 + b_1 q^2 + 26 \] \[ 2b_1 q + 54 = b_1 + b_1 q^2 + 26 \] \[ 2b_1 q + 54 - 26 = b_1 + b_1 q^2 \] \[ 2b_1 q + 28 = b_1 + b_1 q^2 \] \[ b_1 q^2 - 2b_1 q - b_1 = -28 \] \[ b_1 (q^2 - 2q - 1) = -28 \]
8. Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} b_1 (1 + q + q^2) = 91 \\ b_1 (q^2 - 2q - 1) = -28 \end{cases} \]
9. Решим систему уравнений. Разделим второе уравнение на первое: \[ \frac{q^2 - 2q - 1}{1 + q + q^2} = \frac{-28}{91} \] \[ \frac{q^2 - 2q - 1}{q^2 + q + 1} = -\frac{4}{13} \]
10. Решим уравнение: \[ 13(q^2 - 2q - 1) = -4(q^2 + q + 1) \] \[ 13q^2 - 26q - 13 = -4q^2 - 4q - 4 \] \[ 13q^2 + 4q^2 - 26q + 4q - 13 + 4 = 0 \] \[ 17q^2 - 22q - 9 = 0 \]
11. Решим квадратное уравнение: \[ q = \frac{22 \pm \sqrt{22^2 - 4 \cdot 17 \cdot (-9)}}{2 \cdot 17} \] \[ q = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 612}}{34} \] \[ q = \frac{22 \pm \sqrt{1096}}{34} \] \[ q = \frac{22 \pm 33.1}{34} \] \[ q \approx 1.679 \quad \text{или} \quad q \approx -0.352 \]
12. Подставим \(q\) обратно в первое уравнение и решим для \(b_1\): \[ b_1 (1 + q + q^2) = 91 \]
13. Для \(q \approx 1.679\): \[ b_1 (1 + 1.679 + 1.679^2) = 91 \] \[ b_1 (1 + 1.679 + 2.819) = 91 \] \[ b_1 \cdot 5.498 = 91 \] \[ b_1 \approx 16.55 \]
14. Для \(q \approx -0.352\): \[ b_1 (1 - 0.352 + (-0.352)^2) = 91 \] \[ b_1 (1 - 0.352 + 0.124) = 91 \] \[ b_1 \cdot 0.772 = 91 \] \[ b_1 \approx 117.88 \]
15. Теперь найдем седьмой член геометрической прогрессии: \[ b_7 = b_1 q^6 \]
16. Для \(q \approx 1.679\): \[ b_7 \approx 16.55 \cdot 1.679^6 \] \[ b_7 \approx 16.55 \cdot 133.4 \] \[ b_7 \approx 2207 \]
17. Для \(q \approx -0.352\): \[ b_7 \approx 117.88 \cdot (-0.352)^6 \] \[ b_7 \approx 117.88 \cdot 0.0015 \] \[ b_7 \approx 0.177 \]

Таким образом, седьмой член геометрической прогрессии может быть примерно 2207 или 0.177 в зависимости от значения \(q\).