Экзамены с этой задачей:

Предмет и тема: Математика, Арифметика и начала Алгебры, Основы элементарной алгебры, Последовательность, Геометрическая прогрессия, Алгебраические уравнения и системы уравнений, смешанные задачи на геометрическую прогрессию повышенной сложности, системы уравнений, системы нелинейных уравнений,

Задача в следующих классах: 9 класс

Сложность задачи : 3

Информация о книге не найдена

Условие

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число Увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа,

Ответ

{4;8;16, \frac{4}{25};-\frac{16}{25};\frac{64}{25}}

Решение № 17437:

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия снова станет геометрической. Найти эти числа. Решение:

1. Пусть три числа геометрической прогрессии обозначим как \(a\), \(aq\) и \(aq^2\), где \(a\) — первое число, а \(q\) — знаменатель прогрессии.
2. Если второе число увеличить на 2, то три числа образуют арифметическую прогрессию: \(a\), \(aq + 2\), \(aq^2\).
3. Для арифметрической прогрессии выполняется условие: \[ a + aq^2 = 2(aq + 2) \]
4. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ a + aq^2 = 2aq + 4 \] \[ a + aq^2 - 2aq = 4 \] \[ a(1 + q^2 - 2q) = 4 \]
5. Теперь, если увеличить последнее число на 9, то три числа снова образуют геометрическую прогрессию: \(a\), \(aq + 2\), \(aq^2 + 9\).
6. Для геометрической прогрессии выполняется условие: \[ (aq + 2)^2 = a(aq^2 + 9) \]
7. Раскроем скобки и упростим уравнение: \[ a^2q^2 + 4aq + 4 = a^2q^2 + 9a \] \[ 4aq + 4 = 9a \] \[ 4aq - 9a = -4 \] \[ a(4q - 9) = -4 \]
8. Теперь у нас есть две системы уравнений: \[ \begin{cases} a(1 + q^2 - 2q) = 4 \\ a(4q - 9) = -4 \end{cases} \]
9. Разделим второе уравнение на первое, чтобы найти \(q\): \[ \frac{a(4q - 9)}{a(1 + q^2 - 2q)} = \frac{-4}{4} \] \[ \frac{4q - 9}{1 + q^2 - 2q} = -1 \] \[ 4q - 9 = -1 - q^2 + 2q \] \[ q^2 - 2q + 4q - 9 + 1 = 0 \] \[ q^2 + 2q - 8 = 0 \]
10. Решим квадратное уравнение: \[ q^2 + 2q - 8 = 0 \] Найдем корни уравнения: \[ q = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} \] \[ q = \frac{-2 \pm 6}{2} \] \[ q = 2 \quad \text{или} \quad q = -4 \]
11. Подставим \(q = 2\) в первое уравнение: \[ a(1 + 2^2 - 2 \cdot 2) = 4 \] \[ a(1 + 4 - 4) = 4 \] \[ a \cdot 1 = 4 \] \[ a = 4 \]
12. Подставим \(q = -4\) в первое уравнение: \[ a(1 + (-4)^2 - 2 \cdot (-4)) = 4 \] \[ a(1 + 16 + 8) = 4 \] \[ a \cdot 25 = 4 \] \[ a = \frac{4}{25} \]
13. Таким образом, у нас есть два решения: \( (a, aq, aq^2) = (4, 8, 16) \) и \( (a, aq, aq^2) = \left(\frac{4}{25}, -\frac{16}{25}, \frac{64}{25}\right) \).

Ответ: \( (4, 8, 16) \) и \( \left(\frac{4}{25}, -\frac{16}{25}, \frac{64}{25}\right) \).